2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3

§3.3　函数的奇偶性与周期性
最新考纲
考情考向分析
1.理解并会判断函数的奇偶性．
2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.



1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称

2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)________．
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)________．
提示　(1)T＝2|a|　(2)T＝2|a|　(3)T＝|a－b|

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(－10，＋∞)是偶函数．(　×　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　√　)
(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　√　)
(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
f(－1)＝________.
答案　－2
解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.
答案　1
解析　f＝f＝－4×2＋2＝1.
4. [P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案　(－2,0)∪(2,5]
解析　由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．

题型一　判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)由
得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
答案　D
解析　对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)
＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；
对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
答案　A
解析　易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.
题型二　函数的周期性及其应用
1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案　A
解析　∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，
且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.


2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
答案　－2－
解析　由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
3．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
答案　
解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f
＝f＋f＝－f－f
＝－＋sin ＝.
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x