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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第九章平面解析几何高考专题突破六第1课时
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高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因为x＋＝1(－1≤x0＜0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2018·杭州质检)已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若|m|>，求实数k的取值范围；
(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围.
解 (1)联立方程＋＝1和y＝kx＋m，
得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，
所以Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，
所以m2<2＋3k2，又|m|>，所以2＋3k2>3，
即k2>，解得k>或k<－.
所以实数k的取值范围为∪.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)知x1＋x2＝，x1x2＝，
设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，
因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，
所以k1k2＝＝k2，即＝k2，
化简得2＋3k2＝6k2，即k2＝.
因为|AB|＝|x1－x2|＝，
原点O到直线AB的距离h＝＝·|m|，
所以△OAB的面积S△OAB＝|AB|·h＝×≤×＝，
当且仅当m2＝6－m2，即m＝±时，等号成立.
但此时直线OA或OB的斜率不存在，所以等号取不到，
所以S△OAB∈.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A.2 B. C.4 D.2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值
例4 (2017·浙江)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－＜x＜.
所以直线AP斜率的取值范围为(－1，1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，在上单调递减.
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
跟踪训练2 (2018·浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A(0，b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点B，C，记它们的横坐标分别为xB，xC，求xBxC的最小值以及xBxC最小时△ABC的面积.
解 (1)不妨设光线从焦点F1(－c，0)出发到达椭圆上的点M，反射后经过另一个焦点F2(c，0)到达椭圆上的点N.
由于光线经过的路径为正三角形F1MN，
则|F1M|＝|F1N|，
所以MN⊥F1F2，F1F2为△F1MN的中线.
由椭圆的定义得4a＝12，a＝3.
又|F1F2|＝2c＝×4＝2，
所以c＝，b2＝a2－c2＝6，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)得A(0，).显然直线AB，AC的斜率均存在且不为0.
设直线AB的方程为y＝kx＋(k≠0)，
代入＋＝1，得(2＋3k2)x2＋6kx＝0，
所以xB＝－，同理求得xC＝，
所以xBxC＝－×＝－＝－＝－
＝－≥－，
当且仅当k2＝1时等号成立.
所以当k2＝1时，xBxC取得最小值－.
当k2＝1时，|AB|＝，|AC|＝，
S△ABC＝×|AB|×|AC|＝＝.
1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，解得－
2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.5
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).
3.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－1
4.(2018·绍兴质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点.若△PQF2的周长为16，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图(1)，由已知条件得△ABF2的周长为32，因为|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，|AF1|＝|BF1|＝，所以4a＋＝32，＋a＝8，可整理为(a－4)2＋b2＝16.设k＝，则k表示为(a，b)与(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易知kmax＝.故选A.
5.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 由题意可得F，设P(y0>0)，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6.(2018·浙江省杭州市七校联考)已知M，N为双曲线－y2＝1上关于坐标原点O对称的两点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
答案 C
解析 设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0)，则kPM＝，kPN＝.因为点P，M，N均在双曲线－y2＝1上，所以－n2＝1，－y＝1，两式相减得－
(n－y0)(n＋y0)＝0，化简得·＝，即kPM·kPN＝，又≤kPM≤2，
即≤≤2，解得≤kPN≤，故选C.
7.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为________.
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值2×＝1，
因此|AF2|＋|BF2|的最大值为8－1＝7.
8.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.
答案 (0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵1
∴双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，].
9.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.
答案
解析 令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，由题意得，Δ>0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，
又＝≤，当且仅当m＝0时取等号，
故≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l＝4a＝8，则内切圆半径r＝≤(当m＝0时，取等号)，其面积最大值为.
10.已知斜率为k的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，弦AB的中垂线交x轴于点P(x0，0)，则x0的取值范围是____________.
答案
解析 设直线的方程为y＝kx＋m，联立
化简得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，
所以4k2－m2＋3>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得
所以y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m＝k(x1＋x2)＋2m
＝2m－＝，
所以＝，＝，
所以线段AB的中点坐标为，
当k＝0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x0＝0，
当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－，
把点P(x0，0)代入上面的方程得
x0(3＋4k2)＝－km.
所以m＝－，代入4k2－m2＋3>0.
整理得x<，令k2＝t(t>0)，
x<＝＝<，
综上，－
(1)求抛物线C的方程；
(2)若x1x2＋y1y2＝－1，求的最小值.
解 (1)由题意知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，
∵x1＋x2＝2x0，且|AF|＋|BF|＝1＋2x0，
∴p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)设直线l的方程为x＝my＋b，
代入抛物线方程，得y2－2my－2b＝0，
Δ＝4m2＋8b>0，∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2b.
∵x1x2＋y1y2＝－1，即＋y1y2＝－1，
∴y1y2＝－2，即b＝1，则m取任意实数时，Δ>0恒成立.
∴|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝2·，
x0＝＝＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝m2＋1，
∴＝，
令t＝m2＋1，t∈[1，＋∞)，则
＝＝≥，
∴的最小值为.
12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.
解 (1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2，
结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，
即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0，
结合0
(2)由(1)得a＝2c，则b2＝3c2.
将M代入椭圆方程＋＝1，解得c＝1.
所以椭圆方程为＋＝1.
易得直线OM的方程为y＝x.
当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以线段AB的中点N的坐标为，
因为点N在直线y＝x上，
所以－＝2×，
解得k＝－.
所以Δ＝48(12－m2)>0，
解得－2
＝·
＝·＝.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝××
＝≤·＝.
当且仅当12－m2＝m2，
即m＝±时等号成立，
符合－2
13.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A.θ∈ B.θ＝
C.θ∈ D.θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，
∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A(a，0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，
∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，
∴⊥，即θ＝.故选B.
14.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________.
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
由题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A.[4，5] B.[7，8] C.[6，7] D.[5，6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B.
16.(2018·嘉兴测试)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝45°，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.
解 不妨设|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，其中a1，a2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，
则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
由余弦定理得(2－)a＋(2＋)a＝4c2(c为半焦距)，
设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即e1·e2≥，
当e1＝，e2＝时，等号成立，
所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因为x＋＝1(－1≤x0＜0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2018·杭州质检)已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若|m|>，求实数k的取值范围；
(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围.
解 (1)联立方程＋＝1和y＝kx＋m，
得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，
所以Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，
所以m2<2＋3k2，又|m|>，所以2＋3k2>3，
即k2>，解得k>或k<－.
所以实数k的取值范围为∪.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)知x1＋x2＝，x1x2＝，
设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，
因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，
所以k1k2＝＝k2，即＝k2，
化简得2＋3k2＝6k2，即k2＝.
因为|AB|＝|x1－x2|＝，
原点O到直线AB的距离h＝＝·|m|，
所以△OAB的面积S△OAB＝|AB|·h＝×≤×＝，
当且仅当m2＝6－m2，即m＝±时，等号成立.
但此时直线OA或OB的斜率不存在，所以等号取不到，
所以S△OAB∈.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A.2 B. C.4 D.2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值
例4 (2017·浙江)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－＜x＜.
所以直线AP斜率的取值范围为(－1，1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，在上单调递减.
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
跟踪训练2 (2018·浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A(0，b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点B，C，记它们的横坐标分别为xB，xC，求xBxC的最小值以及xBxC最小时△ABC的面积.
解 (1)不妨设光线从焦点F1(－c，0)出发到达椭圆上的点M，反射后经过另一个焦点F2(c，0)到达椭圆上的点N.
由于光线经过的路径为正三角形F1MN，
则|F1M|＝|F1N|，
所以MN⊥F1F2，F1F2为△F1MN的中线.
由椭圆的定义得4a＝12，a＝3.
又|F1F2|＝2c＝×4＝2，
所以c＝，b2＝a2－c2＝6，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)得A(0，).显然直线AB，AC的斜率均存在且不为0.
设直线AB的方程为y＝kx＋(k≠0)，
代入＋＝1，得(2＋3k2)x2＋6kx＝0，
所以xB＝－，同理求得xC＝，
所以xBxC＝－×＝－＝－＝－
＝－≥－，
当且仅当k2＝1时等号成立.
所以当k2＝1时，xBxC取得最小值－.
当k2＝1时，|AB|＝，|AC|＝，
S△ABC＝×|AB|×|AC|＝＝.
1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，解得－
2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.5
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).
3.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－1
4.(2018·绍兴质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点.若△PQF2的周长为16，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图(1)，由已知条件得△ABF2的周长为32，因为|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，|AF1|＝|BF1|＝，所以4a＋＝32，＋a＝8，可整理为(a－4)2＋b2＝16.设k＝，则k表示为(a，b)与(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易知kmax＝.故选A.
5.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 由题意可得F，设P(y0>0)，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6.(2018·浙江省杭州市七校联考)已知M，N为双曲线－y2＝1上关于坐标原点O对称的两点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
答案 C
解析 设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0)，则kPM＝，kPN＝.因为点P，M，N均在双曲线－y2＝1上，所以－n2＝1，－y＝1，两式相减得－
(n－y0)(n＋y0)＝0，化简得·＝，即kPM·kPN＝，又≤kPM≤2，
即≤≤2，解得≤kPN≤，故选C.
7.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为________.
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值2×＝1，
因此|AF2|＋|BF2|的最大值为8－1＝7.
8.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.
答案 (0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵1
∴双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，].
9.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.
答案
解析 令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，由题意得，Δ>0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，
又＝≤，当且仅当m＝0时取等号，
故≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l＝4a＝8，则内切圆半径r＝≤(当m＝0时，取等号)，其面积最大值为.
10.已知斜率为k的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，弦AB的中垂线交x轴于点P(x0，0)，则x0的取值范围是____________.
答案
解析 设直线的方程为y＝kx＋m，联立
化简得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，
所以4k2－m2＋3>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得
所以y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m＝k(x1＋x2)＋2m
＝2m－＝，
所以＝，＝，
所以线段AB的中点坐标为，
当k＝0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x0＝0，
当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－，
把点P(x0，0)代入上面的方程得
x0(3＋4k2)＝－km.
所以m＝－，代入4k2－m2＋3>0.
整理得x<，令k2＝t(t>0)，
x<＝＝<，
综上，－
(1)求抛物线C的方程；
(2)若x1x2＋y1y2＝－1，求的最小值.
解 (1)由题意知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，
∵x1＋x2＝2x0，且|AF|＋|BF|＝1＋2x0，
∴p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)设直线l的方程为x＝my＋b，
代入抛物线方程，得y2－2my－2b＝0，
Δ＝4m2＋8b>0，∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2b.
∵x1x2＋y1y2＝－1，即＋y1y2＝－1，
∴y1y2＝－2，即b＝1，则m取任意实数时，Δ>0恒成立.
∴|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝2·，
x0＝＝＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝m2＋1，
∴＝，
令t＝m2＋1，t∈[1，＋∞)，则
＝＝≥，
∴的最小值为.
12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.
解 (1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2，
结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，
即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0，
结合0
(2)由(1)得a＝2c，则b2＝3c2.
将M代入椭圆方程＋＝1，解得c＝1.
所以椭圆方程为＋＝1.
易得直线OM的方程为y＝x.
当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以线段AB的中点N的坐标为，
因为点N在直线y＝x上，
所以－＝2×，
解得k＝－.
所以Δ＝48(12－m2)>0，
解得－2
＝·
＝·＝.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝××
＝≤·＝.
当且仅当12－m2＝m2，
即m＝±时等号成立，
符合－2
13.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A.θ∈ B.θ＝
C.θ∈ D.θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，
∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A(a，0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，
∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，
∴⊥，即θ＝.故选B.
14.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________.
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
由题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A.[4，5] B.[7，8] C.[6，7] D.[5，6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B.
16.(2018·嘉兴测试)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝45°，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.
解 不妨设|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，其中a1，a2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，
则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
由余弦定理得(2－)a＋(2＋)a＝4c2(c为半焦距)，
设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即e1·e2≥，
当e1＝，e2＝时，等号成立，
所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.
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