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2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第七章第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
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第二节 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
突破点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
以上简称为“直线定界，特殊点定域”．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
答案：(1)× (2)√
二、填空题
1．在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________.
答案：6
2．不等式组表示的平面区域的面积为________．
答案：36
3．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．
答案：
1．(2019·贵阳期中)不等式组
表示的平面区域为( )
解析：选B 因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A，又不等式y<－3x＋12表示的平面区域为直线y＝
－3x＋12的左下方部分，不等式x<2y表示的平面区域为直线x＝2y的左上方部分，所以不等式组表示的平面区域为选项B所表示的区域，故选B.
2．(2019·河南豫北联考)关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．3 B．
C．2 D．
解析：选C 平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面积为|AB|·|AC|＝××＝2，故选C.
3．(2019·清远质量检测)设变量x，y满足约束条件若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是( )
A．6 B．3＋
C．2 D．9
解析：选B 在坐标系中画出可行域△ABC，A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，用两点间距离公式可求得AB＝，AC＝，BC＝2，则周长为3＋，故选B.
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
突破点二 简单的线性规划问题
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
[提醒] 求线性目标函数最值应注意的问题
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：
(1)若b>0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．
(2)若b<0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(2)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)√ (2)×
二、填空题
1．若实数x，y满足则2x＋y的最小值为________．
答案：－
2．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
答案：9
3．(2019·北京朝阳区模拟)若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
答案：
考法一 线性目标函数的最值
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
[解析]
(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，
z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
(2)
由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
[答案] (1)6 (2)3
[方法技巧]
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
考法二 非线性目标函数的最值
[例2] (1)(2019·江西五市联考)已知实数x，y满足不等式组若点P(2a＋b,3a－b)在该不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是( )
A．[－12，－7] B．
C. D．[－12，－2]
(2)(2019·唐山模拟)设实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为________．
[解析] (1)因为点P(2a＋b,3a－b)在不等式组所表示的平面区域内，所以
即其表示的平面区域是以A，B，C，－为顶点的三角形区域(包括边界)．
可看作是可行域内的点与点M(1，－2)连线的斜率，
所以kMB≤≤kMC，即－12≤≤－.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，
由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时，z＝x2＋y2取得最小值，
所以zmin＝2＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z＝x2＋y2的最小值为10.
[答案] (1)C (2)10
[方法技巧]
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
考法三 线性规划中的参数问题
[例3] (1)(2019·合肥质检)已知实数x，y满足不等式组若z＝ax＋y有最大值，则a的值为( )
A．2 B．
C．－2 D．－
(2)(2019·淮北月考)若实数x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－6,2] B．(－6,2)
C．[－3,1] D．(－3,1)
[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z＝ax＋y有最大值，即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距有最大值，由图可知当直线y＝－ax＋z经过点A时，z取得最大值，由解得所以A，代入ax＋y＝，得a＝－2.故选C.
(2)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z＝ax＋2y化成y＝－x＋，当－1<－<3时，直线y＝－x＋的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处取得最小值，解得－6
[方法技巧]
求解线性规划中含参问题的2种基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
1.若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A. B．6
C．11 D．10
解析：选C 法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过点B(3,4)时，x＋2y取得最大值，即(x＋2y)max＝3＋2×4＝11，故选C.
法二：设z＝x＋2y，由题易知，目标函数z＝x＋2y的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为，(3,4)，(2,2)，当x＝，y＝时，z＝；当x＝3，y＝4时，z＝11；当x＝2，y＝2时，z＝6，所以zmax＝11，故选C.
2.已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B．
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选A 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x，y)＝(1,6)时，取得最大值，最大值为6，当(x，y)＝时，取得最小值，最小值为，故的取值范围是，故选A.
3.如图，目标函数z＝kx＋y的可行域为四边形OABC(含边界)，A(1,0)，C(0,1)，若B为目标函数取得最大值的最优解，则k的取值范围是________．
解析：直线z＝kx＋y的斜率为－k，平移直线y＝－kx＋z，因为B为目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解，∴kAB≤－k≤kBC，又∵kAB＝－，kBC＝－，∴－≤－k≤－⇒≤k≤.
答案：
4.若变量x，y满足约束条件且z＝3x＋y的最小值为－8，则k＝________.
解析：目标函数z＝3x＋y可化为y＝－3x＋z，要使目标函数z＝3x＋y的最小值为－8，则平面区域位于直线y＝－3x＋z的右上方，即3x＋y＝－8，作出不等式组对应的平面区域，如图，是一个封闭的三角形，则目标函数经过点A(k，k)时，目标函数z＝3x＋y的最小值为－8，代入得－8＝4k，解得k＝－2.
答案：－2
突破点三 线性规划的实际应用
[典例] (2019·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为( )
A．1 800元 B．2 100元
C．2 400元 D．2 700元
[解析] 设分别生产甲、乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元，则根据题意可得z＝300x＋400y.作出不等式组表示的平面区域，
如图所示，作直线L：300x＋400y＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x＝0，y＝6时，z最大，其值为2 400，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
解线性规划应用题的一般步骤
[针对训练]
(2019·衡水中学模拟)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7 000元．那么可产生最大的利润是________元．
解析：设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得工厂的总利润z＝12 000x＋7 000y.由约束条件得可行域如图所示，由解得所以最优解为A(2，2)，则当直线12 000x＋7 000y－z＝0过点A(2,2)时，z取得最大值38 000，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润为38 000元．
答案：38 000
[课时跟踪检测]
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·宝鸡期中)在3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(3,0) B．(1,3)
C．(0,3) D．(0,0)
解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x＋2y<6，经验证坐标(0,0)符合要求，故选D.
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.
3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x，y满足则2x＋y的最小值为( )
A．－ B．0
C．1 D．
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线y＝－2x，平移该直线，当直线经过点A时，z＝2x＋y取得最小值，最小值为－，故选A.
4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值为( )
A. B．－
C．12 D．0
解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x＋y＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A(4,4)时，2x＋y取得最大值，为12，故选C.
5．(2019·西宁检测)设实数x，y满足若目标函数z＝x＋y的最大值为6，则z的最小值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋y经过点A时，z取得最大值，此时A(k，k)，所以2k＝6，即k＝3，所以B(－6,3)，当直线z＝x＋y经过点B时，z取得最小值，所以z的最小值为－6＋3＝－3.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2018·南昌调研)设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．4
解析：选C
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C(1,0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.
2．(2019·赤峰期末)已知变量x，y满足约束条件则z＝2x·4y的最大值为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
解析：选C 由z＝2x·4y得z＝2x＋2y，设m＝x＋2y，得y＝－x＋m，平移直线y＝－x＋m，
由图象可知当直线y＝－x＋m经过点A时，直线y＝－x＋m的截距最大，由解得即A(3,1)，此时m最大，为m＝3＋2＝5，此时z也最大，为z＝2x＋2y＝25＝32，故选C.
3．(2019·西安模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为( )
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选C
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－，故选C.
4．(2019·嘉兴期末)已知点A(2，－1)，点P(x，y)满足线性约束条件O为坐标原点，那么·的最小值是( )
A．11 B．0
C．－1 D．－5
解析：选D
画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由·＝(2，－1)·(x，y)＝2x－y.令目标函数z＝2x－y.联立方程解得B(－2,1)，z＝2x－y在点B处取得最小值zmin＝2×(－2)－1＝－5，故选D.
5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选C
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A在直线x＋y＝a的右上方．
由可得A，所以＋>a，即a<.故选C.
6．(2019·郑州模拟)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．
C. D．
解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y＝0)，直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，由解得过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0
A．2 B．10
C．12 D．14
解析：选B 表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则·a＝(－)·a＝·a－·a＝x2＋2y2－(x1＋2y1)，设z＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，易知当直线经过点A(4,4)时，z取得最大值，最大值是12，当直线经过点B(2,0)时，z取得最小值，最小值为2，所以·a的最大值为10，故选B.
8．(2019·石家庄模拟)实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，目标函数z＝mx＋y的最大值等于5，则实数m的值为( )
A．－1 B．－
C．2 D．5
解析：选B 实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(－1,0)，B(0,1)，由得
∴C(－4,3)．目标函数z＝mx＋y，∴y＝－mx＋z，当m>时，直线过点B时，z取得最大值5，不成立，舍去；当0
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
由解得A(4，－2)．
由解得B(2,2)．
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
答案：－2 8
10．(2019·林州一中调研)已知实数x，y满足则z＝2x－y的最小值为________．
解析：作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由得点B(1,3)．作出直线2x－y＝0，对该直线进行平移，可以发现当该直线经过点B时，(2x－y)max＝2×1－3＝－1，此时zmin＝2.
答案：2
11．(2019·淮北十校联考)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为________．
解析：x2＋y2表示可行域内的点P(x，y)到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O作OA垂直直线x＋y－6＝0，垂足为A，易知点A在可行域内，所以原点到直线x＋y－6＝0的距离d，就是点P(x，y)到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，所以x2＋y2的最小值为d2＝18.
答案：18
12．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工来完成两道工序，已知木工平均4个小时做一把椅子，8个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子，1个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．
解析：设一个星期能生产椅子x把，书桌y张，利润为z元，可得约束条件利润z＝15x＋20y，画出不等式组所表示的平面区域(图略)，可知在点(200,900)处z取得最大值，此时zmax＝21 000元．
答案：21 000
13．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？
解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元，盈利为z万元，
由题意有
即作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线y＝－2x＋2z过点M时，在y轴上的截距最大，这时z也取得最大值．
解方程组得即M(4,6)，
zmax＝1×4＋0.5×6＝7.
故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利额为7万元．
14．某人有一套房子，室内面积共计180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天才能获得最大的房租收益？
解：设隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
则
即
目标函数为z＝200x＋150y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．
由图可知，当直线z＝200x＋150y过点A时，z取得最大值，
∵A点的坐标不是整数，而x，y∈N，∴点A不是最优解．
由图可知，使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧，这些整数点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,0)，分别代入z＝200x＋150y，逐一验证，可得取整数点(0,12)和(3,8)时，zmax＝1 800，
∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
突破点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
以上简称为“直线定界，特殊点定域”．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
答案：(1)× (2)√
二、填空题
1．在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________.
答案：6
2．不等式组表示的平面区域的面积为________．
答案：36
3．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．
答案：
1．(2019·贵阳期中)不等式组
表示的平面区域为( )
解析：选B 因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A，又不等式y<－3x＋12表示的平面区域为直线y＝
－3x＋12的左下方部分，不等式x<2y表示的平面区域为直线x＝2y的左上方部分，所以不等式组表示的平面区域为选项B所表示的区域，故选B.
2．(2019·河南豫北联考)关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．3 B．
C．2 D．
解析：选C 平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面积为|AB|·|AC|＝××＝2，故选C.
3．(2019·清远质量检测)设变量x，y满足约束条件若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是( )
A．6 B．3＋
C．2 D．9
解析：选B 在坐标系中画出可行域△ABC，A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，用两点间距离公式可求得AB＝，AC＝，BC＝2，则周长为3＋，故选B.
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
突破点二 简单的线性规划问题
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
[提醒] 求线性目标函数最值应注意的问题
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：
(1)若b>0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．
(2)若b<0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(2)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)√ (2)×
二、填空题
1．若实数x，y满足则2x＋y的最小值为________．
答案：－
2．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
答案：9
3．(2019·北京朝阳区模拟)若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
答案：
考法一 线性目标函数的最值
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
[解析]
(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，
z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
(2)
由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
[答案] (1)6 (2)3
[方法技巧]
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
考法二 非线性目标函数的最值
[例2] (1)(2019·江西五市联考)已知实数x，y满足不等式组若点P(2a＋b,3a－b)在该不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是( )
A．[－12，－7] B．
C. D．[－12，－2]
(2)(2019·唐山模拟)设实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为________．
[解析] (1)因为点P(2a＋b,3a－b)在不等式组所表示的平面区域内，所以
即其表示的平面区域是以A，B，C，－为顶点的三角形区域(包括边界)．
可看作是可行域内的点与点M(1，－2)连线的斜率，
所以kMB≤≤kMC，即－12≤≤－.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，
由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时，z＝x2＋y2取得最小值，
所以zmin＝2＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z＝x2＋y2的最小值为10.
[答案] (1)C (2)10
[方法技巧]
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
考法三 线性规划中的参数问题
[例3] (1)(2019·合肥质检)已知实数x，y满足不等式组若z＝ax＋y有最大值，则a的值为( )
A．2 B．
C．－2 D．－
(2)(2019·淮北月考)若实数x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－6,2] B．(－6,2)
C．[－3,1] D．(－3,1)
[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z＝ax＋y有最大值，即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距有最大值，由图可知当直线y＝－ax＋z经过点A时，z取得最大值，由解得所以A，代入ax＋y＝，得a＝－2.故选C.
(2)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z＝ax＋2y化成y＝－x＋，当－1<－<3时，直线y＝－x＋的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处取得最小值，解得－6
[方法技巧]
求解线性规划中含参问题的2种基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
1.若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A. B．6
C．11 D．10
解析：选C 法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过点B(3,4)时，x＋2y取得最大值，即(x＋2y)max＝3＋2×4＝11，故选C.
法二：设z＝x＋2y，由题易知，目标函数z＝x＋2y的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为，(3,4)，(2,2)，当x＝，y＝时，z＝；当x＝3，y＝4时，z＝11；当x＝2，y＝2时，z＝6，所以zmax＝11，故选C.
2.已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B．
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选A 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x，y)＝(1,6)时，取得最大值，最大值为6，当(x，y)＝时，取得最小值，最小值为，故的取值范围是，故选A.
3.如图，目标函数z＝kx＋y的可行域为四边形OABC(含边界)，A(1,0)，C(0,1)，若B为目标函数取得最大值的最优解，则k的取值范围是________．
解析：直线z＝kx＋y的斜率为－k，平移直线y＝－kx＋z，因为B为目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解，∴kAB≤－k≤kBC，又∵kAB＝－，kBC＝－，∴－≤－k≤－⇒≤k≤.
答案：
4.若变量x，y满足约束条件且z＝3x＋y的最小值为－8，则k＝________.
解析：目标函数z＝3x＋y可化为y＝－3x＋z，要使目标函数z＝3x＋y的最小值为－8，则平面区域位于直线y＝－3x＋z的右上方，即3x＋y＝－8，作出不等式组对应的平面区域，如图，是一个封闭的三角形，则目标函数经过点A(k，k)时，目标函数z＝3x＋y的最小值为－8，代入得－8＝4k，解得k＝－2.
答案：－2
突破点三 线性规划的实际应用
[典例] (2019·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为( )
A．1 800元 B．2 100元
C．2 400元 D．2 700元
[解析] 设分别生产甲、乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元，则根据题意可得z＝300x＋400y.作出不等式组表示的平面区域，
如图所示，作直线L：300x＋400y＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x＝0，y＝6时，z最大，其值为2 400，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
解线性规划应用题的一般步骤
[针对训练]
(2019·衡水中学模拟)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7 000元．那么可产生最大的利润是________元．
解析：设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得工厂的总利润z＝12 000x＋7 000y.由约束条件得可行域如图所示，由解得所以最优解为A(2，2)，则当直线12 000x＋7 000y－z＝0过点A(2,2)时，z取得最大值38 000，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润为38 000元．
答案：38 000
[课时跟踪检测]
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·宝鸡期中)在3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(3,0) B．(1,3)
C．(0,3) D．(0,0)
解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x＋2y<6，经验证坐标(0,0)符合要求，故选D.
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.
3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x，y满足则2x＋y的最小值为( )
A．－ B．0
C．1 D．
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线y＝－2x，平移该直线，当直线经过点A时，z＝2x＋y取得最小值，最小值为－，故选A.
4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值为( )
A. B．－
C．12 D．0
解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x＋y＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A(4,4)时，2x＋y取得最大值，为12，故选C.
5．(2019·西宁检测)设实数x，y满足若目标函数z＝x＋y的最大值为6，则z的最小值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋y经过点A时，z取得最大值，此时A(k，k)，所以2k＝6，即k＝3，所以B(－6,3)，当直线z＝x＋y经过点B时，z取得最小值，所以z的最小值为－6＋3＝－3.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2018·南昌调研)设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．4
解析：选C
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C(1,0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.
2．(2019·赤峰期末)已知变量x，y满足约束条件则z＝2x·4y的最大值为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
解析：选C 由z＝2x·4y得z＝2x＋2y，设m＝x＋2y，得y＝－x＋m，平移直线y＝－x＋m，
由图象可知当直线y＝－x＋m经过点A时，直线y＝－x＋m的截距最大，由解得即A(3,1)，此时m最大，为m＝3＋2＝5，此时z也最大，为z＝2x＋2y＝25＝32，故选C.
3．(2019·西安模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为( )
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选C
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－，故选C.
4．(2019·嘉兴期末)已知点A(2，－1)，点P(x，y)满足线性约束条件O为坐标原点，那么·的最小值是( )
A．11 B．0
C．－1 D．－5
解析：选D
画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由·＝(2，－1)·(x，y)＝2x－y.令目标函数z＝2x－y.联立方程解得B(－2,1)，z＝2x－y在点B处取得最小值zmin＝2×(－2)－1＝－5，故选D.
5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选C
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A在直线x＋y＝a的右上方．
由可得A，所以＋>a，即a<.故选C.
6．(2019·郑州模拟)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．
C. D．
解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y＝0)，直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，由解得过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0
A．2 B．10
C．12 D．14
解析：选B 表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则·a＝(－)·a＝·a－·a＝x2＋2y2－(x1＋2y1)，设z＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，易知当直线经过点A(4,4)时，z取得最大值，最大值是12，当直线经过点B(2,0)时，z取得最小值，最小值为2，所以·a的最大值为10，故选B.
8．(2019·石家庄模拟)实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，目标函数z＝mx＋y的最大值等于5，则实数m的值为( )
A．－1 B．－
C．2 D．5
解析：选B 实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(－1,0)，B(0,1)，由得
∴C(－4,3)．目标函数z＝mx＋y，∴y＝－mx＋z，当m>时，直线过点B时，z取得最大值5，不成立，舍去；当0
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
由解得A(4，－2)．
由解得B(2,2)．
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
答案：－2 8
10．(2019·林州一中调研)已知实数x，y满足则z＝2x－y的最小值为________．
解析：作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由得点B(1,3)．作出直线2x－y＝0，对该直线进行平移，可以发现当该直线经过点B时，(2x－y)max＝2×1－3＝－1，此时zmin＝2.
答案：2
11．(2019·淮北十校联考)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为________．
解析：x2＋y2表示可行域内的点P(x，y)到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O作OA垂直直线x＋y－6＝0，垂足为A，易知点A在可行域内，所以原点到直线x＋y－6＝0的距离d，就是点P(x，y)到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，所以x2＋y2的最小值为d2＝18.
答案：18
12．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工来完成两道工序，已知木工平均4个小时做一把椅子，8个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子，1个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．
解析：设一个星期能生产椅子x把，书桌y张，利润为z元，可得约束条件利润z＝15x＋20y，画出不等式组所表示的平面区域(图略)，可知在点(200,900)处z取得最大值，此时zmax＝21 000元．
答案：21 000
13．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？
解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元，盈利为z万元，
由题意有
即作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线y＝－2x＋2z过点M时，在y轴上的截距最大，这时z也取得最大值．
解方程组得即M(4,6)，
zmax＝1×4＋0.5×6＝7.
故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利额为7万元．
14．某人有一套房子，室内面积共计180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天才能获得最大的房租收益？
解：设隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
则
即
目标函数为z＝200x＋150y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．
由图可知，当直线z＝200x＋150y过点A时，z取得最大值，
∵A点的坐标不是整数，而x，y∈N，∴点A不是最优解．
由图可知，使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧，这些整数点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,0)，分别代入z＝200x＋150y，逐一验证，可得取整数点(0,12)和(3,8)时，zmax＝1 800，
∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．
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