2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第二章第二节　第1课时　系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

第二节　函数的性质
[考纲要求]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会利用函数的图象理解和研究函数的单调性．
3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
4．会利用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
5．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．　　　
第1课时　系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

函数的单调性
1.单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[点拨]　(1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有>0.
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
[谨记常用结论]
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．

1.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．
答案：[1，＋∞)
2.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
3.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为________．
解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.
又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，
在(2，＋∞)上为增函数，
y＝logu为减函数，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]
5．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，
且为增函数，
故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.
答案：(－∞，－4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) 解析：由题设得解得－1≤x<.
答案：

函数的最值
　　1.函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[点拨]　(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．

1.函数f(x)＝在[2,6]上的最大值是________．
答案：2
2.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
答案：
3.若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得
答案：1　
4.函数y＝的值域为________．
解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．
答案：[－1,1)
5．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值－2.故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1

函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特征

奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
[谨记常用结论]
1.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
答案：－2
2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则当x>0时，f(x)＝________.
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
5．在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是________．
解析：y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2.
答案：2
6．已知函数f(x)＝asin x＋bln＋t，若f＋f＝6，则实数t＝________.
解析：令g(x)＝asin x＋bln，则易知g(x)为奇函数，所以g＋g＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.
答案：3

函数的周期性
1.周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[谨记常用结论]
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．

1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
答案：1
2.若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)－f(4)＝－1.
答案：－1
3.已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.
解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，故函数f(x)的周期为4.∴f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.
答案：3
4.函数f(x)的周期为4，且x∈(－2,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋ f(2 020)的值为________．
解析：由f(x)＝2x－x2，x∈(－2,2]，知f(－1)＝－3，f(0)＝0，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0－3＋0＝－3.
答案：－3
5．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 019)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 019)＝f(3)＝0.
答案：0
6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
[课时跟踪检测]
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：选D　因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
2．(2019·南昌调研)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B　设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
3．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为(　　)
A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
解析：选B　因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.
4．(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝(　　)
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C　x>0，－x<0.∵当x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.
5．函数f(x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
解析：选B　f(x)的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
6．(2019·石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|02} B．{x|x<0或x>2}
C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1}
解析：选A　由于函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－11，所以02，故选A.
7．(2019·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C　根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；
对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；
对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D；
对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故选C.
8．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A　当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选C　令f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，函数图象如图所示：∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.
10．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　)
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
解析：选C　f(－x)＝－f(x)，
则f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
11．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析：选A　由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝－2.故选A.
12．若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则<0的解集为(　　)
A．(－3,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：选C　∵f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)，
故<0可化为<0，
而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(3)＝0，
故当x>3时，f(x)<0，当－30，
故<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选C　f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.
14．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
15．(2019·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数的图象为如图所示的实线部分，根据图象，知g(x)的递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
16．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋0＋f＋f(0)＋f
＝f－f＋f(0)＋f
＝f＋f(0)
＝2－1＋20－1
＝－1.
答案：－1