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    2020版高考数学(文)新设计一轮复习通用版讲义:第八章第七节空间角(视情况选用)

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    2020版高考数学(文)新设计一轮复习通用版讲义:第八章第七节空间角(视情况选用)

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    第七节空间角(视情况选用)


    [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(  )
    A.           B.
    C. D.
    (2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(  )
    A. B.-
    C. D.-
    [解析] (1)如图,连接BE,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan ∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
    (2)如图,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,连接EF,EG,OG,FO,FG,则EF∥BD,EG∥AC,所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角.易知FO∥AB,因为AB⊥平面BCD,所以FO⊥平面BCD,所以FO⊥OG,设AB=2a,则EG=EF=a,FG==a,所以∠FEG=60°,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为,故选A.
    [答案] (1)C (2)A

    [解题技法] 平移法求异面直线所成角的步骤
    平移
    平移的方法一般有三种类型:(1)利用图中已有的平行线平移;(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;(3)补形平移
    证明
    证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
    寻找
    在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之
    取舍
    因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角
    [题组训练]
    1.在正三棱柱ABC­A1B1C1中,AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小为(  )
    A.30°           B.60°
    C.75° D.90°
    解析:选D 将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1,连接C1D,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为所求角或其补角.设BB1=,则BC=CD=2,∠BCD=120°,BD=2,又因为BC1=C1D=,所以∠BC1D=90°.
    2.如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,
    (1)求AC与A1D所成角的大小;
    (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
    解:(1)如图所示,连接B1C,AB1,由ABCD­A1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
    ∵AB1=AC=B1C,
    ∴∠B1CA=60°.
    即A1D与AC所成的角为60°.
    (2)连接BD,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,
    AC⊥BD,AC∥A1C1,
    ∵E,F分别为AB,AD的中点,
    ∴EF∥BD,∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
    即A1C1与EF所成的角为90°.




    [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )
    A.8           B.6
    C.8 D.8
    (2)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为________.
    [解析] (1)如图,连接AC1,BC1,AC.
    ∵AB⊥平面BB1C1C,
    ∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,∴∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4.在Rt△ACC1中,CC1===2,
    ∴V长方体=AB×BC×CC1=2×2×2=8.
    (2)如图所示,设O为△ABC的中心,连接PO,AO,易知PO⊥平面ABC,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角.S△ABC=××× sin 60°=,
    ∴VABC­A1B1C1=S△ABC·OP=×OP=,∴OP=.
    又OA=××=1,∴tan∠OAP==,∴∠OAP=60°.
    故PA与平面ABC所成角为60°.
    [答案] (1)C (2)60°
    [解题技法] 求直线和平面所成角的步骤
    (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
    (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;
    (3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
    [题组训练]

    1.在正三棱柱ABC­A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B 如图,取AC,A1C1的中点分别为M,M1,连接MM1,BM,过点D作DN∥BM交MM1于点N,则易证DN⊥平面AA1C1C,连接AN,则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角.在Rt△DNA中,sin∠DAN===.
    2.(2019·青海模拟)如图,正四棱锥P­ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平面PAC所成的角为(  )
    A.60°         B.30°
    C.45° D.90°
    解析:选A 如图,在正四棱锥P­ABCD中, 根据底面积为6可得,BC=.连接BD交AC于点O,连接PO,则PO为正四棱锥P­ABCD的高,根据体积公式可得,PO=1.因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD,又BD⊥AC,PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,连接EO,则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.在Rt△POA中,因为PO=1,OA=,所以PA=2,OE=PA=1,在Rt△BOE中,因为BO=,所以tan∠BEO==,即∠BEO=60°.
    故直线BE与平面PAC所成角为60°.

    [典例] (1)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的平面角为________.
    (2)已知△ABC中,∠C=90°,tan A=,M为AB的中点,现将△ACM沿CM折起,得到三棱锥P­CBM,如图所示.则当二面角P­CM­B的大小为60°时,=________.
    [解析] (1)如图,O为正方形ABCD的中心,M为BC的中点,连接PO,PM,OM,∠PMO即为侧面与底面所成二面角的平面角.设底面边长为a,则2a2=(2)2,∴a=2,∴OM=.
    又四棱锥的体积V=×(2)2×PO=12,∴PO=3,
    ∴tan∠PMO==,∴∠PMO=60°.故所求二面角为60°.
    (2)如图,取BC的中点E,连接AE,EM,PE,
    设AE∩CM=O,连接PO,
    再设AC=2,由∠C=90°,tan A=,可得BC=2.
    在Rt△MEC中,可得tan∠CME=,
    在Rt△ECA中,可得tan∠AEC=,
    ∴∠CME+∠AEM=90°,∴AE⊥CM,
    ∴PO⊥CM,EO⊥CM,∠POE即为二面角P­CM­B的平面角,∴∠POE=60°.
    ∵AE==,OE=1×sin∠CME=,∴PO=AO=.
    在△POE中,由余弦定理可得,
    PE= =,
    ∴PE2+CE2=PC2,即PE⊥BC.
    又∵E为BC的中点,∴PB=PC=2.
    在Rt△ACB中,易得AB=2,∴=.
    [答案] (1)60° (2)
    [解题技法]
    1.求二面角大小的步骤(一作二证三求)

    2.作二面角的平面角的3种方法
    定义法
    在棱上取点,分别在两平面内引两条射线与棱垂直,这两条射线所成的角就是二面角的平面角
    垂面法
    已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角
    垂线法
    过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,
    垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角,如图,∠AOB为二面角α­l­B的平面角

    [题组训练]
    1.已知二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为(  )
    A.150°          B.45°
    C.120° D.60°
    解析:选D 如图,AC⊥AB,BD⊥AB,过A在平面ABD内作AE∥BD,过D作DE∥AB,连接CE,所以DE=AB且DE⊥平面AEC,∠CAE即二面角的平面角.在Rt△DEC中,CD=2,DE=4,则CE=2,在△ACE中,由余弦定理可得cos∠CAE==,所以∠CAE=60°,即所求二面角的大小为60°.
    2.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在平面,C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,且AB=2,PA=BC=,则二面角A­BC­P的大小为________.
    解析:因为AB为⊙O的直径,所以AC⊥BC,又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以∠PCA为二面角A­BC­P的平面角.因为∠ACB=90°,AB=2,PA=BC=,所以AC=1,所以在Rt△PAC中,tan∠PCA==.所以∠PCA=60°.即所求二面角的大小为60°.
    答案:60°

    1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为(  )
    A.2           B.
    C.1 D.
    解析:选B A1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C,tan∠B1A1C==.
    2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=,那么二面角A­BD­P的大小为(  )
    A.30° B.45°
    C.60° D.75°


    解析:选A 作AO⊥BD交BD于点O,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.
    ∵PA∩AO=A,∴BD⊥平面PAO,
    ∴PO⊥BD,∴∠AOP即为所求二面角A­BD­P的大小.
    ∵AO==,
    ∴tan∠AOP==,故二面角A­BD­P的大小为30°.
    3.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN的长度为(  )
    A.5 B.6
    C.8 D.10
    解析:选A 如图,取AD的中点P,连接PM,PN,
    则PM∥BD,PN∥AC,PN=AC=4,PM=BD=3,
    ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,
    ∴∠MPN=90°,∴MN=5.故选A.
    4.已知AB∥平面α,AC⊥平面α于点C,BD是平面α的斜线,D是斜足,若AC=9,BD=6,则BD与平面α所成的角的大小为________.
    解析:如图,过B作BE⊥平面α,垂足为E,则BE=9.连接DE,则∠BDE为BD与平面α所成的角.在Rt△BED中,sin∠BDE==,所以∠BDE=60°.
    答案:60°
    5.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.
    解析:如图,∵SA与圆锥底面所成角为45°,
    ∴△SAO为等腰直角三角形.
    设OA=r,
    则SO=r,SA=SB=r.
    在△SAB中,cos ∠ASB=,
    ∴sin ∠ASB=,
    ∴S△SAB=SA·SB·sin ∠ASB
    =×(r)2×=5,
    解得r=2,
    ∴SA=r=4,即母线长l=4,
    ∴S圆锥侧=πrl=π×2×4=40π.
    答案:40π
    6.已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上,球O的体积V球=,则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________.
    解析:如图,过点O作OM⊥平面ABCD,垂足为点M,则点M为正方形ABCD的中心.∵正方形ABCD的边长为2, ∴AC=2,∴AM=.∵V球=πr3=,∴球O的半径OA=r=2,∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为 cos∠OAM===.
    答案:
    7.(2018·天津高考)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.
    (1)求证:AD⊥BC;
    (2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
    (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
    解:(1)证明:因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABD,
    所以AD⊥平面ABC.
    因为BC⊂平面ABC,
    所以AD⊥BC.
    (2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.
    又因为M为棱AB的中点,
    所以MN∥BC.
    所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
    在Rt△DAM中,AD=2,AM=1,
    所以DM==.
    因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AC.
    在Rt△DAN中,AN=1,
    所以DN==.
    在等腰三角形DMN中,MN=1,
    可得cos∠DMN==.
    所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
    (3)连接CM.
    因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,
    所以CM⊥AB,CM=.
    因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,CM⊂平面ABC,
    所以CM⊥平面ABD,
    所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
    在Rt△CAD中,CD==4.
    在Rt△CMD中,sin∠CDM==.
    所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
    8.(2019·湖北八校联考)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置,使得二面角P­EF­B的大小为60°.

    (1)求证:EF⊥PB;
    (2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时,求四棱锥P­EBCF的侧面积.
    解:(1)证明:在Rt△ABC中,∵AB=BC=3,∴BC⊥AB.
    ∵EF∥BC,∴EF⊥AB,翻折后垂直关系没变,仍有EF⊥PE,EF⊥BE,
    又PE∩BE=E,
    ∴EF⊥平面PBE,∴EF⊥PB.
    (2)∵EF⊥PE,EF⊥BE,
    ∴∠PEB是二面角P­EF­B的平面角,
    ∴∠PEB=60°,
    又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=,
    ∴PB2+BE2=PE2,∴PB⊥BE,∴PB,BC,BE两两垂直,
    ∴△PBE,△PBC,△PEF均为直角三角形.
    由△AEF∽△ABC可得,EF=BC=2,
    S△PBC=BC·PB=,S△PBE=PB·BE=,S△PEF=EF·PE=2.
    在四边形BCFE中,过点F作BC的垂线,垂足为H,
    则FC2=FH2+HC2=BE2+(BC-EF)2=2,∴FC=.
    在△PFC中,FC=,PC==2,PF==2,
    由余弦定理可得cos∠PFC==-,
    则sin∠PFC=,S△PFC=PF·FCsin∠PFC=.
    ∴四棱锥P­EBCF的侧面积为S△PBC+S△PBE+S△PEF+S△PFC=2+2+.




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