2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第六节椭圆

第六节椭__圆

一、基础知识批注——理解深一点
2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在.

1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个
定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)，　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b❶
离心率
e＝❷
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接
近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．

二、常用结论汇总——规律多一点
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√

(二)选一选
1．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在y轴上，a2＝9，b2＝8，
所以c＝1，所以e＝＝，故选C.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，
所以解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.


解析：选C　∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2，∴e＝＝＝.

(三)填一填
4．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为________．
解析：由题意得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得
解得30)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，
使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c＜a＋c.
∴e＝∈.



A级——保大分专练

1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D.＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　 B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪
解析：选D　依题意得不等式组
解得m＜－1或1＜m＜，故选D.
3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，
所以a2＝，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.
4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由椭圆方程知c＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，
代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选D　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
6．(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，故＝，故选D.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
8．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________．
解析：法一：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为＋＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，代入点A(3，－2)得＋＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.

解析：由椭圆＋＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可得＝＝＝3.
答案：3
10．点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________.
解析：如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝＝.
答案：
11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
12．已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解：设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y
＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.

B级——创高分自选

1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则整理得解得＜e＜.
2．(2018·南昌摸底考试)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　　)
A. B.
C．8 D.
解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9，
则c＝＝＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64.
∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，
∴|PH|＝＝.故选D.
3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

第二课时　直线与椭圆的综合问题


[典例]　(2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝ ＝，故选C.
[答案]　C

[解题技法]
1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤

2．解有关弦中点问题的注意点
对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
[题组训练]
1．已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0
C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.
2．焦点为F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得
两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1


[典例]　(2018·北京高考节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
[解]　(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝＝＝＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
[解题技法]　弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝ (k为直线斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[题组训练]
1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为
(　　)
A．±1　　　　　　　　　 B．±
C. D．±
解析：选A　由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得|AB|＝＝＝，
解得m＝±1.
2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，
又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，
由得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
所以y1＝，y2＝－.
所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.



[典例]　(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．
[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立整理得y2－y－9＝0，
则Δ＝＋144＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，
则3＋4k2＝8，解得k＝±，
又k＞0，所以k＝.
[解题技法]　解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
[题组训练]
1．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为·≥2，＝(－c，－b)，＝(c，－b)，|F1F2|2＝4c2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0＜≤.
2．已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆D的标准方程；
(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝a交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求·的值．
解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以b＝c，
又△AOF的面积为1，所以bc＝1，解得b＝c＝，
所以a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆D的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋2)，
代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以P.又M(2,4k)，
所以·＝(2,4k)·＝4.


A级——保大分专练
1．(2019·长春二检)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－
解析：选A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.
2．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
4．(2019·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B.
5．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)　　　　　　　　 B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥.
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2中点，∴OM綊F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2