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2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第七节双曲线
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第七节双曲线
一、基础知识批注——理解深一点
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.
当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的
一个量，e越大开口越大.
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(二)选一选
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析：选C 由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，
所以c＝，
所以双曲线－＝1的焦距为2.
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为
( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A ∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
(三)填一填
4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
5．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，
则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.
法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.
又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，
则d1＋d2＝＝＝2b
＝6，所以b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.
所以双曲线的方程为－＝1.
法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线 －＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[解题技法] 求双曲线标准方程的2种方法
待定
系数法
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值
定义法
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
[提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
[题组训练]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可得
解得则该双曲线的标准方程为－y2＝1.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选A 因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程
[典例] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)
[解析] 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥ )．
[答案] A
[解题技法]
利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
考法(二) 焦点三角形问题
[典例] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案] B
[解题技法]
在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ，＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|来解决．
[题组训练]
1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为
( )
A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
[典例] (2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2] D.
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤， 即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．求离心率的口诀归纳
离心率，不用愁，寻找等式消b求；
几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
考法(二) 求双曲线的渐近线方程
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析] 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案] A
[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．
[题组训练]
1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
2．已知直线l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，不妨设直线l的方程为y＝x，设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.
3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝，所以＝，b2＝a，所以c2＝a2＋a＝9，解得a＝2(舍负)，所以e＝＝.
4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B 由双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，
有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，
所以双曲线的方程为－＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
A级——保大分专练
1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4或8
解析：选D 由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D ∵e＝＝＝，∴＝1.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
4．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由0
A. B.
C. D.
解析：选C 设双曲线C1的左顶点为A，则A，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设题中过点A的直线与渐近线y＝x平行，则该直线的方程为y＝，即y＝x＋1.联立解得所以该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积S＝·|OA|·＝××＝，故选C.
6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
7．(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
解析：由e＝＝ ，得＝，
∴a2＝16.
∵a>0，∴a＝4.
答案：4
8．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，故|AB|＝4.
答案：4
9．(2018·海淀期末)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
答案：2
10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2，所以双曲线C的离心率e＝2.
答案：2
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4， －)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
则
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝＝.
B级——创高分自选
1．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx－y＝0的距离d＝＝，∴k＝±，
由题意知＞，∴1＋＞4，即＝＞4，∴e＞2.
2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B ∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点，
又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，
又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，
∴双曲线C的渐近线的斜率k＝±tan 60°＝±，
即双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y ＝x，∴bx－ay＝0.
由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
一、基础知识批注——理解深一点
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.
当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的
一个量，e越大开口越大.
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(二)选一选
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析：选C 由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，
所以c＝，
所以双曲线－＝1的焦距为2.
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为
( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A ∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
(三)填一填
4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
5．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，
则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.
法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.
又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，
则d1＋d2＝＝＝2b
＝6，所以b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.
所以双曲线的方程为－＝1.
法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线 －＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[解题技法] 求双曲线标准方程的2种方法
待定
系数法
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值
定义法
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
[提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
[题组训练]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可得
解得则该双曲线的标准方程为－y2＝1.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选A 因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程
[典例] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)
[解析] 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥ )．
[答案] A
[解题技法]
利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
考法(二) 焦点三角形问题
[典例] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案] B
[解题技法]
在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ，＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|来解决．
[题组训练]
1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为
( )
A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
[典例] (2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2] D.
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤， 即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．求离心率的口诀归纳
离心率，不用愁，寻找等式消b求；
几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
考法(二) 求双曲线的渐近线方程
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析] 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案] A
[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．
[题组训练]
1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
2．已知直线l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，不妨设直线l的方程为y＝x，设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.
3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝，所以＝，b2＝a，所以c2＝a2＋a＝9，解得a＝2(舍负)，所以e＝＝.
4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B 由双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，
有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，
所以双曲线的方程为－＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
A级——保大分专练
1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4或8
解析：选D 由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D ∵e＝＝＝，∴＝1.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
4．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由0
A. B.
C. D.
解析：选C 设双曲线C1的左顶点为A，则A，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设题中过点A的直线与渐近线y＝x平行，则该直线的方程为y＝，即y＝x＋1.联立解得所以该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积S＝·|OA|·＝××＝，故选C.
6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
7．(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
解析：由e＝＝ ，得＝，
∴a2＝16.
∵a>0，∴a＝4.
答案：4
8．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，故|AB|＝4.
答案：4
9．(2018·海淀期末)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
答案：2
10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2，所以双曲线C的离心率e＝2.
答案：2
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4， －)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
则
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝＝.
B级——创高分自选
1．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx－y＝0的距离d＝＝，∴k＝±，
由题意知＞，∴1＋＞4，即＝＞4，∴e＞2.
2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B ∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点，
又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，
又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，
∴双曲线C的渐近线的斜率k＝±tan 60°＝±，
即双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y ＝x，∴bx－ay＝0.
由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
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