2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第六章第二节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和

一、基础知识批注——理解深一点
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d0，d0，则S20＝(　　)
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选D　设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d0，d0，a3＋a10>0，a6a70的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C　因为a1>0，a6a70，a70，a1＋a13＝2a70，S130的最大自然数n的值为12.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18


A级——保大分专练

1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn为{an}的前n项和，则S10等于(　　)
A．90　　　　　　　　　 　B．100
C．110 D．130
解析：选C　由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S10＝10×2＋×2＝110.故选C.
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)
A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选C　由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.
3．(2019·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn为数列{an}的前n项和，当Sn最大时，n＝(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C　∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．
令an＝28－5n≥0，则n≤，又n∈N*，∴n≤5.
∵Sn为数列{an}的前n项和，∴当n＝5时，Sn最大．故选C.
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选D　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.
5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(　　)
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
即解得
∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn.若a＝an＋2＋an，则S2n＋1＝(　　)
A．4n＋2 B．4n
C．2n＋1 D．2n
解析：选A　因为{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又a＝an＋2＋an，所以a＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝＝＝4n＋2.故选A.
7．已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________.
解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(15n－n2)．
答案：(15n－n2)
8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.
答案：6
9．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a70，
∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴
∴或
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
∴Sn＝＝.

B级——创高分自选

1．设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)
A．{an＋1－an}是等差数列　 　B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
解析：选D　对于A，因为an＝(n＋1)2，
所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，
设cn＝2n＋3，
所以cn＋1－cn＝2.
所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；
对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，
设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，
所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；
对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，
所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，
设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，
所以{an－bn}是等差数列，故C正确；
对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，
∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，
联立，解得或
当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an0，
∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an