2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第三章第二节导数与函数的单调性

第二节导数与函数的单调性

一、基础知识批注——理解深一点
函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)0(f′(x)0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√

(二)选一选
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　 　B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析：选D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
解析：选A　函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)0)，
①当a0恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>；
由f′(x)＝0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a1时，求f(x)的单调区间．
[解]　f′(x)＝·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek，
当10时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．

[解题技法]　利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)0，∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.
∴当x>0时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
答案：增
9．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：对f(x)求导可得f′(x)＝2x－5＋＝(x>0)．令f′(x)＝＝>0(x>0)，解得x>2或00时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞)．
(2)存在实数a满足条件．
因为f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，
所以a≥ex在(－2,3)上恒成立．
又因为－2