2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理
一、基础知识批注——理解深一点
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．


正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
　　　　　　　　　　　
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.

3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．　　
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
(二)选一选
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．1
C. D.
解析：选D　由正弦定理，得b＝＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B.
C. D．2
解析：选A　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为(　　)
A．无解 B．有两解
C．有一解 D．解的个数不确定
解析：选B　∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又∵ab＝2，∴B