2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第五章第四节平面向量的综合应用

第四节平面向量的综合应用

[典例]　(2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20　　　　　　　 　B．15
C．36 D．6
[解析]　法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－ ，所以·＝·＝·＝ ＝＝36，故选C.
法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
[答案]　C
[解题技法]　向量与平面几何综合问题的2种解法
基向量法
适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解
坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决

[题组训练]
1．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形　　　　　　　　 　B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A　由(－)·(＋－2)＝0，
得·(＋)＝0，∵－＝，
∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，
∴△ABC是等腰三角形．


2．(2018·西安质检)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
解析：选B　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.
3.如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在弧AB上，则·的最小值为________．

解析：如图，以O为坐标原点，为x轴的正半轴，为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1,0)，B(0,2)，设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈，所以·＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－2sin(θ＋φ)，所以·的最小值为4－2.
答案：4－2

[典例]　(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
[解]　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x．则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.

[解题技法]　向量在解析几何中的2个作用
载体作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具作用
利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
[题组训练]
1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k||2＋||2，结合余弦定理有cos C