2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第五章第三节平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积

一、基础知识批注——理解深一点
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　　　　　　　　　

4．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5．平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.

6．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝；　 　(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝.
二、常用结论汇总——规律多一点
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0且a，b不共线，所以λ