2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第七章第一节不等式的性质

第一节不等式的性质





一、基础知识批注——理解深一点

1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　同向不等式可
相加，不能相减．
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;  c<0时应变号．
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2)．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0 (3)a>b>0，d>c>0⇒>.
2．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0)；
(2)假分数性质：>；<(b－m>0)．

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)a>b>0，c>d⇒>.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

(二)选一选
1．若a A.>　　　　　　　　 B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A　取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M ＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M ＞N，故选A.
(三)填一填
4．若ab＜0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案：＞
5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
答案：(－π，0)



[典例]　(1)(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A.－>0　　　　　　　　 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
(2)若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
[解析]　(1)因为－＝＜0，所以A错误；因为当x＝π，y＝时，sin x－sin y＜0，所以B错误；因为函数y＝ x在(0，＋∞)上单调递减，所以x＜y，即x－y＜0，所以C正确；因为当x＝1，y＝时，ln x＋ln y＜0，所以D错误．
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
[答案]　(1)C　(2)＜
[解题技法]　比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
[题组训练]
1．已知a1，a2∈(0,1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.
∴M ＞N.
2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为
________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.
综上可知＜.
答案：＜


考法(一)　判断不等式是否成立
[典例]　(1)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
(2)(2018·山西陵川一中期中)若a A．ac>bd　　　　　　　　 B．ac C.< D.>
[解析]　(1)①由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当0>c>d时，不等式不成立．
④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但<.故选B.
(2)∵a－b>0，－c>－d>0，∴ac>bd，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A

[解题技法]　判断不等式是否成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．
考法(二)　求代数式的取值范围
[典例]　已知－1 [解析]　∵－1 ∴－3<－y<－2，
∴－4 由－1 得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
[答案]　(－4,2)　(1,18)
[解题技法]　利用不等式的性质求取值范围的方法
由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
[题组训练]
1．已知a>b，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．ln a>ln b B.<
C．a2>ab D．a2＋b2>2ab
解析：选D　只有在a>b>0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a>0时正确；因为a≠b，所以D正确．
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
3．若6 A．[9,18] B．(15,30)
C．[9,30] D．(9,30)
解析：选D　∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.∵6
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B　　　　　　　　 B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
解析：选B　由题意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A　因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．设a0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A.> B.>
C．|a|c>－bc D.>
解析：选B　由题设得a 4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D　法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，
故m＜－n＜n＜－m成立．
5．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D　∵<<0，∴ba2，ab 6．已知a A．|b|<－a B．ab>0
C．ab<0 D．|a|<|b|
解析：选A　法一：由于a0时，|b|＝b<|a|＝－a，|b|<－a成立；当b<0时，－b<－a，则|b|<－a成立．综上，|b|<－a.
法二：因为a 7．设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝a⊕b＝若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则(　　)
A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4
解析：选A　结合定义及m⊗n≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；结合定义及p⊕q≤2可得或即q 8．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C　因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0,3z0，z<0.由x>0，y>z，得xy>xz.由x>y，z<0，得xz 9．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
10．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0.
∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
11．(2019·肇庆实验中学月考)下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：对于命题①，取a＝1，b＝－2，则a>b，a2＝1，b2＝4，则“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，命题①错误；对于命题②，由a2>b2，可得|a|2>|b|2，故有|a|>|b|，故“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式a>b两边同时加上c得a＋c>b＋c，另一方面，在不等式a＋c>b＋c两边同时减去c得a>b，故“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件，命题③正确．故真命题的序号是②③.
答案：②③
12．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是______．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
13．若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0<<.
又∵e<0，∴>.