2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

一、基础知识批注——理解深一点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
T(α±β)：tan(α±β)＝.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.

2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝.　　　　　　　　　　 　　
二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).
三、基础小题强化——功底牢一点

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
(二)选一选
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C．－ D．－
解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
3．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝(　　)
A. B．－
C．5 D．－5
解析：选A　由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝.
(三)填一填
4．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.
解析：∵cos α＝，α∈，∴sin α＝＝，
∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.
答案：
5．sin 15°＋sin 75°＝________.
解析：依题意得sin 15°＋sin 75°
＝cos 75°＋sin 75°
＝cos(75°－45°)
＝.
答案：


[典例]　(1)已知sin α＝，α∈，tan β＝－，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　 　　　　　 　B.
C. D．－
(2)(2019·呼和浩特调研)若sin＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　(1)因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
所以tan(α－β)＝＝－.
(2)因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
[答案]　(1)A　(2)B
[解题技法]　应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[题组训练]
1．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　因为sin α＝＋cos α，所以sin α－cos α＝，
所以＝
＝＝＝－.
2．已知sin α＝，且α∈，则sin的值为________．
解析：因为sin α＝，且α∈，所以α∈，
所以cos α＝－＝－ ＝－.
因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
所以sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝－.
答案：－
考点二　三角函数公式的逆用与变形用
[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝________.
[解析]　(1)∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°·tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝.
[答案]　(1)－　(2)
[解题技法]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
1±sin α＝2；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
[提醒]　
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，， 等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．



公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
幂升一次角减半，升幂降次它为范；
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦．
[题组训练]
1.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 　B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选D　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.
2.已知cos＋sin α＝，则sin＝________.
解析：由cos＋sin α＝，
可得cos α＋sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，
∴sin＝，即sin＝.
答案：
3.化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos －sin2α
＝1－－
＝.
答案：



考法(一)　三角公式中角的变换
[典例]　(2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角β满足sin(α＋β)＝，则cos β的值为________．
[解析]　由角α的终边过点P，
得sin α＝－，cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
[答案]　－或
[解题技法]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
考法(二)　三角公式中名的变换
[典例]　(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解]　(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α .
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈.
所以sin(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以 tan 2α＝＝－.
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
[解题技法]　三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[题组训练]
1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选C　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.
2．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)
A. B.
C.或 D.
解析：选B　∵A∈，∴A＋∈，
∴cos＝－ ＝－，
∴sin A＝sin
＝sincos－cossin＝.
3．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A　∵sin α＝－，α∈，
∴cos α＝.
又∵＝2，
∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，
∴tan(α＋β)＝.

A级——保大分专练
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B.
C. D．－
解析：选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．若2sin x＋cos＝1，则cos 2x＝(　　)
A．－ B．－
C. D．－
解析：选C　因为2sin x＋cos＝1，所以3sin x＝1，所以sin x＝，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.
3．(2018·山西名校联考)若cos＝－，则cos＋cos α＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C　cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝cos＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，
∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C　由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.
6．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
7．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
答案：－
8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
解析：因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.
答案：5
9．(2017·江苏高考)若tan＝，则tan α＝________.
解析：tan α＝tan
＝＝＝.
答案：
10．化简：＝________.
解析：＝＝＝－1.
答案：－1
11．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝＝＝1.
12．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解：(1)∵α，β∈，∴－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
B级——创高分自选
1．(2019·广东五校联考)若tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则tan 2θ＝________.
解析：∵tan＝4cos(2π－θ)，∴＝4cos θ，
又∵|θ|<，∴sin θ＝，
∴0<θ<，cos θ＝，tan θ＝＝，
从而tan 2θ＝＝.
答案：
2．(2018·江西新建二中期中)已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则cos＝________.
解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，
所以 所以sin(A＋B)＝＝，cos＝－ ＝－，
可得cos＝cos＝－×＋×＝.
答案：
3．(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.