2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：选修4-4第二节参数方程

第二节参数方程




一、基础知识批注——理解深一点
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程

3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.


②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．
二、基础小题强化——功底牢一点

(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×

(二)填一填
1．在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为____________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
2．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________．
解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为____________．
解析：将直线l的参数方程代入x2＋＝1，
得2＋＝1，
即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝.
答案：


[典例]　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为
(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2 ]．
[解题技法]　将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．
[提醒]　将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
[题组训练]
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)．
(2)(θ为参数)．
解：(1)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，
所以(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.
(2)因为曲线的参数方程为(θ为参数)，　
由y＝2tan θ，得tan θ＝，代入①得y2＝2x.
2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
解：圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ.
所以圆的参数方程为(θ为参数)．



[典例]　(2019·广州高中综合测试)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数m的值．
[解]　(1)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＝y＋m，即x－y－m＝0.
因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.
可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2－2x＋y2＝0.
(2)把代入x2－2x＋y2＝0，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0.
由Δ>0，得－1 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝m2－2m.
因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以m2－2m＝±2，
解得m＝1±.
因为－1 [解题技法]
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．
[题组训练]
1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．
解：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，
由ρsin＝，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)设点P的坐标为(cos α，sin α)，
则点P到C2的距离为＝，
当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，α＝－＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，最大值为2，
此时点P的坐标为.
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，直线l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，直线l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.



[典例]　(2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
[解]　(1)由消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，
则点A，B的极坐标分别为(2，π＋2kπ)(k∈Z)，(k∈Z)．
设点P的坐标为(－5＋cos α，3＋sin α)，
则点P到直线l的距离d＝＝，
当cos＝1，即α＋＝2kπ(k∈Z)，α＝－＋2kπ(k∈Z)时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，
所以△PAB面积的最小值S＝×dmin×|AB|＝×2×2＝4.
[解题技法]　极坐标、参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
[题组训练]
1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0,2π]．
(1)求曲线C1的一个参数方程；
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，
所以(x－2)2＋y2＝1.
令x－2＝cos α，y＝sin α，
所以C1的一个参数方程为(α为参数)．
(2)因为C2：4ρ＝3，
所以4＝3，即2x－2y－3＝0，
因为直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，
所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2 ＝2×＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
解：(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，圆的半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
(2＋tcos φ)2＋(＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2(＋tsin φ)＝0，
整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝＝.
∵φ∈，∴cos φ∈，∴|MN|∈[，4]．
故弦长|MN|的取值范围为[，4]．


1．若直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.
解：直线(t为参数)的普通方程为y＝xtan α.
圆(θ为参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4.
由于直线与圆相切，则＝2，
即tan2α＝，解得tan α＝±，
由于α∈[0，π)，故α＝或.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，
从而点P到直线l的距离d＝＝，
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
3．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为，
且点M的极径等于，
故点M的极坐标为.
(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，
把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，
又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.
5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．
解：(1)由参数方程得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)由直线l1：θ1＝(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin ＝2.
由直线l2：θ2＝(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin ＝2.
易知∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|×|ON|＝×2×2＝2.
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点需满足<1，
解得k<－1或k>1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是.
7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值．
解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1(0≤y≤1)．
(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos α，sin α)，α∈[0，π]，
则点P到曲线C1的距离d＝＝.
∵α∈[0，π]，∴cos∈，2cos∈[－2， ]，
当m＋＜0时，m＋＝－4，即m＝－4－.
当m－2＞0时，m－2＝4，即m＝6.
当m＋≥0，m－2≤0，即－≤m≤2时，dmin＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－或m＝6.
8．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(α为参数)，且直线l交曲线C于A，B两点．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝时，|AB|的值；
(2)已知点P(1,0)，求当直线l的倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围．
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当θ＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，
将l的参数方程代入＋y2＝1，得5t2＋2t－4＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.
(2)将直线l的参数方程代入＋y2＝1，
得(1＋2sin2θ)t2＋2tcos θ－2＝0，
设A，B对应的参数分别为t3，t4，则t3t4＝，
则|PA|·|PB|＝－t3t4＝.
又0≤sin2θ≤1，所以≤|PA|·|PB|≤2，
所以|PA|·|PB|的取值范围是.