2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：选修4-5第二节不等式的证明

第二节不等式的证明

一、基础知识批注——理解深一点
1．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．比较法
(1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b.
(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1.
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
二、基础小题强化——功底牢一点

(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
(二)选一选
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(　　)
A．s≥t　　 B．s＞t
C．s≤t D．s＜t
解析：选A　∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.
2．若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)
A．x>y B．xb>1，所以(a－b)·>0，
所以x－y>0，即x>y.
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B　∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，
∴(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．
4．已知正实数a，b满足2ab＝a＋b＋12，则ab的最小值是(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选C　由2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2＋12，当且仅当a＝b时等号成立，化简得(－3)(＋2)≥0，解得ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，所以ab的最小值是9.



[典例]　已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解]　(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2，
得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；
当x≥时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，
从而(a＋b)2－(1＋ab)2
＝a2＋b2－a2b2－1
＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
[解题技法]
1．作差比较法
(1)作差比较法证明不等式的4步骤

(2)作差比较法的应用范围
当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．
2．作商比较法
(1)作商比较法证明不等式的一般步骤

(2)作商比较法的应用范围
当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
[题组训练]
1．当p，q都是正数且p＋q＝1时，求证：(px＋qy)2≤px2＋qy2.
解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2)
＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当x＝y时，不等式中等号成立．
2．求证：当a>0，b>0时，aabb≥(ab).
证明：∵＝，
∴当a＝b时，＝1，
当a>b>0时，>1，>0，∴>1，
当b>a>0时，00，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋，
∴(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
[解题技法]　综合法证明不等式的方法
(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．
[题组训练]
1．设a，b，c，d均为正数，若a＋b＝c＋d，且ab>cd，求证：＋>＋.
证明：因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2.
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此 ＋>＋.
2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|0，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.
解：(1)由|x|＋|x－3|c，且a＋b＋c＝0，求证：b>c且a＋b＋c＝0，
知a>0，cb>c，∴a－b>0，a－c>0，
∴(a－b)(a－c)>0显然成立，
故原不等式成立．
2．已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由题意，|x＋1|0，
所以只需证a2＋c2－b2>0，
即a2＋c2>b2，因为a2＋c2≥2ac，
所以只需证2ac>b2，
由已知得2ac＝b(a＋c)．
所以只需证b(a＋c)>b2，即a＋c>b，显然成立．
所以∠B为锐角．
2．若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，仅当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，仅当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|