2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第六章第一节　数列的概念与简单表示

第六章 数列
第一节　数列的概念与简单表示


1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
突破点一　数列的通项公式


1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、填空题
1．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．
解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.
答案：－
2．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．
解析：困为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.
答案：9
3．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
解析：an＝＝＝－，
∵－3＝－，∴－3是该数列的第9项．
答案：9
4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是____________．
答案：an＝


考法一　利用an与Sn的关系求通项　
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例1]　(1)(2019·化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
(2)(2019·广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝____________.
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.
当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.
又a1>0，∴a1＝1.
当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n(n∈N*)．
[答案]　(1)an＝　(2)n
[方法技巧]
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　
考法二　利用递推关系求通项　
[例2]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)因为an＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，
所以an＝n2＋.
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
[方法技巧]　典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C为常数)
化为等差数列
a1＝1，an＋1＝

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019＝(　　)
A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．4 036 D．4 038
解析：选B　由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.则a2 019＝2 019.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B．n－1
C.n－1 D．n－1
解析：选B　Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×n－1＝n－1.故选B.
3.已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝____________.
解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因为a1＝4，所以an＝(n≥2)．因为a1＝4满足上式，所以an＝.
答案：
4.已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝____________.
解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.
因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．
因为a1＝2满足上式，
所以an＝.
答案：
突破点二　数列的性质


数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是________(填递增或递减)．
答案：递增
2．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是________．
答案：0
3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n，则当an取得最大值时，n等于________．
答案：5或6


考法一　数列的单调性　
[例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
[解析]　法一：(作差比较法)
an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1 所以a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
法二：(作商比较法)
＝＝，
令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.
又an>0，故a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
[答案]　A
[方法技巧]
求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0或an>0时，>1，则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0或an>0时，<1，则an＋1 考法二　数列的周期性　
数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．
[例2]　(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018＝________.
[解析]　由题意可知an＋1＝an＋an＋2，a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，∴a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，∴an＋6＝an，即数列{an}是以6为周期的数列，又a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴S2 018＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋(a1＋a2)＝4 017.
[答案]　4 017
[方法技巧]
周期数列的常见形式与解题方法
(1)周期数列的常见形式
①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
(2)解决此类题目的一般方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．　　

1.若数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 019＝(　　)
A．1 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A　因为an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2，所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，所以{an}是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.
2.已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．
答案：5
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A．31　　　　　　　　　 B．30
C．15 D．63
解析：选C　由题意，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，故选C.
2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 019＝(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
解析：选A　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 018＝a3×672＋3＝a3＝－1.
3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n2 B．an＝(－1)n·n2
C．an＝(－1)n＋1·n2 D．an＝(－1)n·(n＋1)2
解析：选B　易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为an＝(－1)n·n2，故选B.
4．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)
A．256 B．510
C．512 D．1 024
解析：选C　在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
5．设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．(－∞，3) D．
解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，
所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，
所以b<2n＋1(n∈N*)，
所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.故选A.
2．(2019·沈阳模拟)已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　)
A．2n－1 B．n－1
C．n D．n2
解析：选C　由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故an＝n.故选C.
3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：选D　∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.
4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是(　　)
A．10 B．12
C．13 D．14
解析：选D　1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，由n(n＋1)≤100，得n的最大值为13，易知最后一个13是已知数列的第91项，又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.
5．(2019·兖州质检)已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有an A．(1,4) B．(2,5)
C．(1,6) D．(4,6)
解析：选A　因为对任意的n∈N*都有an 6．(2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2 019的末位数字为(　　)
A．8 B．2
C．3 D．7
解析：选D　由an＝(n∈N*)，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…，{an}中的整数项为，，，，，，…，∴数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b2 019的末位数字为7.故选D.
7．(2018·长沙调研)已知数列{an}，则“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由题意，若“数列{an}为递增数列”，则an＋1>an>an－1，但an＋1>an－1不能推出an＋1>an，如an＝1，an＋1＝1，{an}为常数列，则不能推出“数列{an}为递增数列”，所以“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.
8．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.
9．(2019·兰州诊断)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b501＝________.
解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，又b1＝0，所以bn＝，所以b501＝.
答案：
10．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{an}满足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴两边同除以an·an＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差的等差数列，∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝.
答案：
11．(2019·宝鸡质检)若数列{an}是正项数列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________.
解析：由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又n＝1，＝2，∴a1＝4，∴＝4n，∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n.
答案：2n2＋2n
12．(2019·深圳期中)在数列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)知，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝an－1，∴＝an－an－1，即an＝an－1，∴an＝…＝2a1＝2，∴an＝.
答案：
13．(2019·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1 因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
15．(2019·武汉调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}中，bn＝，且其前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)∵a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
∴bn＝
(2)由题意得cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－＝－＝<0，
∴cn＋1