2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第三章第一节　导数的概念及运算

第三章 导数及其应用
第一节　导数的概念及运算
[考纲要求]
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
突破点一　导数的运算


1．导数的概念
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c (c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
基本初等函数
导函数
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
3.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′的计算结果相同．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)
(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
2．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，
∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
3．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1


1．已知函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．1＋x D．1－x
解析：选B　函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝＝，故选B.
2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)
A．－e B．1
C．－1 D．e
解析：选C　由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选C.
3．函数f(x)＝(x＋1)2(x－3)，则其导函数f′(x)＝(　　)
A．3x2－2x B．3x2－2x－5
C．3x2－x D．3x2－x－5
解析：选B　法一：因为f(x)＝(x＋1)2(x－3)＝(x＋1)(x＋1)(x－3)，所以f′(x)＝[(x＋1)(x＋1)]′(x－3)＋(x＋1)(x＋1)·(x－3)′＝2(x＋1)(x－3)＋(x＋1)2＝3x2－2x－5.
法二：f(x)＝(x＋1)2(x－3)＝x3－x2－5x－3，则f′(x)＝3x2－2x－5.

导数运算的常见形式及其求解方法
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
含待定系数
如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导

1．设f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B　f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29
C．212 D．215
解析： 选C　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
突破点二　导数的几何意义


函数f(x)在点x0处 的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　　)
(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点．(　　)
答案：(1)√　(2)×
二、填空题
1．已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
2．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴所求三角形的面积S＝×1×＝＝log2e.
答案：log2e
3．设函数f(x)＝g＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．
解析：由已知得g′(1)＝－9，g(1)＝－8，
又f′(x)＝g′＋2x，
∴f′(2)＝g′(1)＋4＝－＋4＝－，f(2)＝g(1)＋4＝－4，
∴所求切线方程为y＋4＝－(x－2)，即x＋2y＋6＝0.
答案：x＋2y＋6＝0


考法一　求切线方程　
“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．
[例1]　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．　　
考法二　求切点坐标　
[例2]　(2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．e－1
[解析]　设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.
[答案]　A
[方法技巧]
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．　　
考法三　求参数值或范围　
[例3]　(1)已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
(2)(2019·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
[解析]　(1)由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，
所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，
所以f(x)＝aln x＋x2，
故f′(x)＝＋2x.
则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，
因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，
所以a＋2＝－1，即a＝－3.
(2)由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，
解得30，则y＝xsin x单调递增，则f′(x)＝cos x－xsin x在上单调递减．故选A.
11．(2018·天津高考)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
解析：∵f(x)＝exln x，∴f′(x)＝exln x＋，∴f′(1)＝e.
答案：e
12．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为______________．
解析：因为y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
13．(2019·石家庄二中月考)已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋.与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以2－4＝0，解得x1＝－，故斜率k＝－＝－4.
答案：－4
14．(2019·淄博六中期末)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
答案：
15．(2019·孝感高中期中)已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.
故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．
又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，
即2x－3x＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．
记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)2时总有y＝(1－x)e－x0，∴可得实数a的取值范围是.故选D.
3．(2019·山东名校调研)已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．[2ln 2－2，＋∞) B．(2ln 2，＋∞)
C．(－∞，2ln 2－2] D．(－∞，2ln 2－2)
解析：选D　由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为它们的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0　①.由y＝ex＋a求导可得y＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b　②.联立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0