2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第五章第三讲　等比数列及其前n项和


第三讲　等比数列及其前n项和
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　等比数列的概念
(1)等比数列的定义
如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．
符号语言：__＝q__(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__G__叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝__ab__.
注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
知识点二　等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝__a1qn－1__＝__amqn－m__.
(2)前n项和公式：Sn＝
知识点三　等比数列的主要性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和{}(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足或时，{an}是递增数列．
②满足或时，{an}是递减数列．
③当时，{an}为常数列．
④当q<0时，{an}为摆动数列．

1．等比数列的概念的理解
(1)等比数列中各项及公比都不能为零．
(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．
(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
(5)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则{logaan}(a>0且a≠1)成等差数列，反之亦然．
(6)若{an}是等差数列，则{aan}(a>0，a≠1)成等比数列，反之亦然．
(7)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3.
2．等比数列前n项和公式的推导方法__错位相减法__.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题不正确的是(　ABCD　)
A．满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列
B．如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列
C．如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列
D．数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
题组二　走进教材
2．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__.
[解析]　设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
3．(必修5P62B组T2改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝__－(－)n－1__.　
[解析]　因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×(－)n－1＝－(－)n－1.
题组三　考题再现
4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　)
A．f　　 B．f　　
C．f　　 D．f
[解析]　本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用．
由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝f，即第八个单音的频率为f，故选D．
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　C　)
A．16　　 B．8　　
C．4　　 D．2
[解析]　设数列{an}的公比为q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C．
6．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝____.
[解析]　解法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　等比数列的基本运算——自主练透
例1　(1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　C　)
A．2　　 B．1　　
C．　　 D．
(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　A　)
A．96里　　 B．48里　　
C．192里　　 D．24里
(3)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝____.
(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，S4＝5S2，则a6＝__16或－16__.
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝，a3a5＝4(a4－1)，知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4(×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即q3＝8，∴q＝2，∴a2＝，故选C．
(2)由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为的等比数列，记为{an}，其前6项和等于378，于是有＝378，解得a1＝192，所以a2＝a1＝96，即该人第二天走了96里，故选A．
(3)解法一：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解q＝－，所以S4＝＝＝.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q3＝(－)3＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋(－)＝.
解法三：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－qn)(其中A为常数)，则a1＝S1＝A(1－q)＝1　①，S3＝A(1－q3)＝　②，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝×[1－(－)4]＝.
(4)设等比数列的公比为q，由a3＝2知：若q＝1，则S4＝8，而5S2＝20，不合题意．∴q≠1，∴＝，解得q＝2或－2.
当q＝2时，a6＝a3·q3＝16，
当q＝－2时，a6＝a3q3＝－16，即a6＝16或－16.
名师点拨　☞
等比数列基本量的求法
等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．
特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
考点二　等比数列的判定与证明——师生共研
例2　已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求证：{－1}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
[解析]　(1)记bn＝－1，
则＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以{－1}是首项为，公比为的等比数列．
所以－1＝·()n－1，
即an＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，－1＝·()n－1，
即＝·()n－1＋1.
所以数列{}的前n项和
Tn＝＋n＝(1－)＋n.
名师点拨　☞
等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
〔变式训练1〕
(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　D　)
A．a1，a3，a9成等比数列　　 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列　　 D．a3，a6，a9成等比数列
(2)(2018·课标全国Ⅰ，17)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
①求b1，b2，b3；
②判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
③求{an}的通项公式．
[解析]　(1)设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a＝a3·a9.
(2)①由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
②{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
③由②可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
考点三　等比数列性质的应用——多维探究
角度1　等比数列项的性质的应用
例3　(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　B　)
A．－　　 B．－
C．　　 D．－或
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__5__.
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.故选B．
(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
名师点拨　☞
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
角度2　等比数列前n项和的性质
例4　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__2__.
(2)(2020·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝(　A　)
A．150　　 B．－200
C．150或－200　　 D．400或－50
[分析]　(2)可将S3，S9用a1和公比q(显然q≠1)表示，解方程组求出a1、q进而可求S12；但利用S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列运算简便；注意到Sn＝(q≠1)＝－·qn，故可设Sn＝A－Aqn求解．
[解析]　(1)由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
(2)解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，
又Sn＝，
∴＝＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)．
又＝＝＝15.
∴S12＝15S3＝150.故选A．
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)
＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，
∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，
∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．
解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，
则两式相除得1＋q3＋q6＝7，
解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.
∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．
[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？
[解析]　由本例解法一知q3＝2或－3，
当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；
当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．
名师点拨　☞
(1)等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．
(2)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．
(3)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝＝－·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．
(4)S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….
〔变式训练2〕
(1)(角度1)在等比数列{an}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝__±2__，若a3＝4，a11＝1，则a7＝__2__.
(2)(角度1)(2020·内蒙古呼和浩特一中摸底)已知数列{an}是递减的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝(　B　)
A．8－　　 B．16－
C．2n－3－8　　 D．16－2n－3
(3)(角度2)(2020·吉林统考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝(　C　)
A．　　 B．或
C．3　　 D．3或－2
[解析]　(1)设数列{an}的公比为q，则a3，a6，a9组成的新数列的公比为q3.
若a3＝4，a9＝1，则a＝4，a6＝±2，合题意；
a3，a7，a11组成的新数列的公比为q4，由a3＝4，a11＝1，得a＝4，当a7＝2时，q4＝，合题意，当a7＝－2时，q4＝－，不合题意，舍去．
(2)设等比数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝8，∴a1·a4＝8，又a1＋a4＝9且数列{an}是递减数列，∴a1＝8，a4＝1，∴q3＝，∴q＝，∴Sn＝＝16－，故选B．
(3)不妨设S4＝1，则S12＝7，
∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，
∴(S8－1)2＝7－S8，解得S8＝3或－2，
又S8＝(1＋q4)S4>0，∴S8＝3，∴＝3.故选C．
另解：由题意＝＝1＋q4＋q8＝7即q8＋q4－6＝0，∴q4＝2或－3(舍去)，
∴＝＝1＋q4＝3，故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
等差、等比数列的综合运用
例5　(2020·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，{bn}为各项均为正数的等比数列，b1＝2，且b2＋S2＝7，a2＋b3＝10.
(1)求an与bn；
(2)定义新数列{Cn}满足Cn＝(n∈N*)求{Cn}前20项的和T20.
[分析]　(1)用等差、等比数列基本公式求解；
(2)分组求和即可．
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
则由题意有解得或(舍去)，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n.
(2)由题意知Cn＝
∴T20＝C1＋C2＋C3＋C4＋…＋C19＋C20
＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220
＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220)
＝＋
＝100＋(410－1)．
[引申](1)本例中数列{Cn}的前n项和Tn＝____.
(2)本例中若Cn＝an·bn，则{Cn}的前n项和Tn＝__(n－1)·2n＋1＋2__.
[解析]　(1)当n为偶数时Tn＝＋＝＋＝＋(2n－1)．
当n为奇数时Tn＝＝＋＝＋(2n－1－1)．
∴Tn＝
(2)Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n①
则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1②
①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
名师点拨　☞
(1)若{an}，{bn}分别为等差、等比数列，则求{an·bn}前n项和时用“错位相减法”．
(2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n项和一般用分组求和法．(注意当n为偶数时，奇数项、偶数项都是项；当n为奇数时，奇数项有项，偶数项为项)需对n进行分类讨论求解．
〔变式训练3〕
(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
[解析]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，即＝.
因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝－.