2021版人教版高三物理一轮复习基础梳理：第十章　课时1　机械振动　振动图象 学案

课时1　机械振动　振动图象

一、简谐运动

1.概念:质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线的振动。

2.简谐运动的表达式

(1)动力学表达式:F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+),其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动的快慢,(ωt+)代表简谐运动的相位,称做初相。

3.回复力

(1)定义:使物体返回到平衡位置的力。

(2)方向:时刻指向平衡位置。

(3)来源:振动物体所受的沿振动方向的合力。

4.描述简谐运动的物理量

二、简谐运动的图象

1.物理意义:表示振子的位移随时间变化的规律,为正弦(或余弦)曲线。

2.简谐运动的图象

(1)从平衡位置开始计时,把开始运动的方向规定为正方向,函数表达式为x=Asin ωt,图象如图甲所示。 

(2)从正的最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos ωt,图象如图乙所示。 

三、单摆

1.定义:在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果细线的伸缩和质量都不计,球的直径比线的长度短得多,这样的装置叫做单摆。

2.视为简谐运动的条件:θ<5°。

3.回复力:F=-·x。

4.周期公式:T=2π。

5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量都没有关系。

四、受迫振动及共振

1.受迫振动

(1)概念:物体在周期性外力作用下的振动。

(2)振动特征:受迫振动的频率等于驱动力的频率,与系统的固有频率无关。

2.共振

(1)概念:当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大的现象。

(2)共振的条件:驱动力的频率等于系统的固有频率。

(3)共振的特征:共振时振幅最大。

(4)共振曲线(如图所示)。

f=f0时,A=Am。f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小。

考点一　简谐运动及其描述

　简谐运动的两种模型

说明:(1)简谐运动位移起点始终在平衡位置。

(2)弹簧振子和单摆都是理想化模型。

(3)质点经过一次全振动,位移、速度均恢复原状。

(4)简谐运动的周期与振幅无关。

(5)一个周期内经过的路程等于4倍振幅,个周期经过的路程不一定是一倍振幅。

(6)平衡位置两侧各对称点,相关状态量大小相等(即具有对称性)。

[典例1] 如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5 cm,若振子从B到C的运动时间是1 s,则下列说法中正确的是(　　)

A.振子从B经O到C完成一次全振动

B.振动周期是1 s,振幅是10 cm

C.经过两次全振动,振子通过的路程是20 cm

D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm

解析:振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1 s=2 s,振幅A=BO=5 cm,选项A,B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20 cm,所以两次全振动中通过的路程为40 cm,选项C错误;3 s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30 cm,选项D正确。

答案:D

变式1:两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1,v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1,f2和A1,A2,则(　C　)

A.f1>f2,A1=A2 B.f1<f2,A1=A2

C.f1=f2,A1>A2 D.f1=f2,A1<A2

解析:单摆振动周期T=2π,T与l,g有关,f=,则f与l,g有关,与v无关,则f1=f2。振幅与v有关,v越大,振幅A越大,A1>A2,故C项正确。

考点二　简谐运动的特征

1.动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。

2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x,F,a,Ep均增大,v,Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。

3.运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4.对称性特征

(1)相隔或 (n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反。

(2)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P,P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。

5.能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。

说明:(1)回复力是效果力,不是物体受到的力,而是由所受力的合力或某个力(或分力)来提供。

(2)回复力产生的加速度可称为回复加速度,回复加速度影响速度的大小。

(3)振动能量与振幅有关,同一振动振幅越大,能量越大。

(4)平衡位置位移为零,回复力为零,回复加速度为零,速度最大,动能最大,势能最小。

[典例2] (多选)如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A,B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知CO=h,弹簧的劲度系数为k。某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是(　　)

A.重力势能减少了2mgh

B.回复力做功为2mgh

C.速度的变化量的大小为2v

D.通过A点时回复力的大小为kh

解析:作出弹簧振子的振动图象如图所示,

由于振动的周期性和对称性,在半个周期内弹簧振子将运动到O点下方的D点,C,D两点关于平衡位置O对称,因此弹簧振子的高度降低了2h,重力做功2mgh,故弹簧振子的重力势能减少了2mgh,A正确;回复力是该振子所受的合外力,由对称关系知,弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等,方向竖直向下,因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量,即为零,而速度的变化为Δv=v-(-v)=2v,B错误,C正确;弹簧振子通过A点时相对平衡位置的位移为2h,因此回复力F=-kx=-2kh,D错误。

答案:AC

变式2:如图所示,两根劲度系数相同的轻弹簧a,b和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量,a的原长小于b的原长。当细线突然断开时,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　C　)

A.甲的振幅大于乙的振幅

B.甲的最大加速度大于乙的最大加速度

C.甲的最大速度小于乙的最大速度

D.甲的最大动能大于乙的最大动能

解析:细线断开之前,轻弹簧a,b的弹力大小相等,又两根弹簧的劲度系数相同,故两弹簧的伸长量相等,则甲、乙两物体振动的振幅相等,A错误;振动的最大加速度am=,由于甲的质量大于乙的质量,所以甲的最大加速度小于乙的最大加速度,B错误;初始时弹簧的弹性势能相同,故振动时的最大动能也相等,D错误;又最大动能Ekm=m,所以甲的最大速度小于乙的最大速度,故C正确。

考点三　机械振动图象

1.简谐运动的图象

(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin ωt,图象如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos ωt,图象如图乙所示。

(3)物理意义:表示振动质点的位移随时间的变化规律。

2.振动图象的信息

(1)由图象可以看出振幅、周期。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。

②速度的方向:速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增大,振动质点的速度方向就是远离t轴;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向t轴。

[典例3] 如图为某质点的振动图象,由图象可知(　　)

A.质点的振动方程为

x=2sin 50πt(cm)

B.在t=0.01 s时质点的速度为负向最大

C.P点对应时刻质点的振动方向向下

D.从0.02 s至0.03 s质点的位移增大,速度减小

解析:由题图可知,质点振动方程为x=2sin 50(πt+π)(cm)=-2sin 50πt(cm);t=0.01 s时质点速度为零;P点对应时刻质点振动方向向上;在0.02 s至0.03 s质点离开平衡位置,位移增大,速度减小,故选项D正确。

答案:D

变式3:质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知(　C　)

A.振幅为4 cm,频率为0.25 Hz

B.t=1 s时速度为零,但质点所受合外力为最大

C.t=2 s时质点具有正方向最大加速度

D.该质点的振动方程为x=2sint(cm)

解析:由图象读出,振幅为2 cm,周期为4 s,则频率为0.25 Hz,选项A错误;t=1 s时质点在平衡位置,故此时速度最大,质点所受合外力为零,选项B错误;t=2 s时质点在负向位移最大的位置,此时质点具有正方向最大加速度,选项C正确;因ω== rad/s,故该质点的振动方程为x=2cost(cm),选项D错误。

考点四　单摆

1.条件:细线不可伸长、质量忽略不计,线长远大于摆球的直径,空气阻力可忽略,摆角很小。

2.回复力来源:摆球重力沿切线方向的分力。

3.周期公式:T=2π,其中l为摆长,g为重力加速度。

说明:(1)单摆的摆长是摆线长度(或等效摆长)与摆球的半径之和,即悬挂点(或等效悬挂点)到摆球球心之间的距离。

(2)单摆的回复力不等于重力与绳子拉力的合力。

(3)单摆周期与振幅无关,与摆球质量无关。

[典例4] 如图所示,用两根等长的轻质细线悬挂一个小球(半径长度远小于绳长),设绳长L和角α已知,当小球垂直于纸面做简谐运动时,其周期表达式为(　　)

A.π      B.2π

C.2π D.2π

解析:由于小球垂直于纸面做简谐运动,所以等效摆长为Lsin α,由于小球做简谐运动,所以单摆的振动周期为T=2π,故D正确。

答案:D

变式4:(多选)如图中两摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触,现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开各自做简谐运动,以mA,mB分别表示摆球A,B的质量,则(　CD　)

A.如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B.如果mA<mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧

C.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧

D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

解析:由单摆的等时性可判断得,无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都一定在平衡位置。

考点五　受迫振动与共振

　固有振动、受迫振动和共振的关系比较

[典例5] 一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,则(　　)

A.此单摆的固有周期约为0.5 s

B.此单摆的摆长约为1 m

C.若摆长增大,单摆的固有频率增大

D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动

解析:由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz,固有周期为2 s,A项错误;再由T=2π,得此单摆的摆长约为1 m,B项正确;若摆长增大,单摆的固有周期增大,固有频率减小,则共振曲线的峰将向左移动,C,D项错误。

答案:B

变式5:(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子,如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子驱动力,使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动,给砝码一向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图线如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图线如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅,则(　AC　)

A.由图线可知T0=4 s

B.由图线可知T0=8 s

C.当T在4 s附近时,Y显著增大;当T比4 s小得多或大得多时,Y很小

D.当T在8 s附近时,Y显著增大;当T比8 s小得多或大得多时,Y很小

解析:由题图可知弹簧振子的固有周期T0=4 s,故选项A正确,B错误;根据受迫振动的特点;当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振,振幅最大;当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时,受迫振动物体振动稳定后的振幅越小,故选项C正确,D错误。

1.(简谐运动动力学表达式的理解)对简谐运动的回复力公式F=-kx的理解,正确的是(　C　)

A.k只表示弹簧的劲度系数

B.式中的负号表示回复力总是负值

C.位移x是相对平衡位置的位移

D.回复力只随位移变化,不随时间变化

解析:位移x是相对平衡位置的位移;F=-kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反。

2.(简谐运动的特征)(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin t,则质点(　AD　)

A.第1 s末与第3 s末的位移相同

B.第1 s末与第3 s末的速度相同

C.3 s末至5 s末的位移方向都相同

D.3 s末至5 s末的速度方向都相同

解析:

由表达式x=Asin t知,ω=,简谐运动的周期T==8 s。表达式对应的振动图象如图所示。质点在1 s末的位移x1=Asin(×1)=A,质点在3 s末的位移x3=Asin(×3)=A,故A正确。由前面计算可知t=1 s和t=3 s质点连续通过同一位置,故两时刻质点速度大小相等,方向相反,B错误;由xt图象可知,3～4 s内质点的位移为正值,4～5 s内质点的位移为负值,C错误;同样由xt图象可知,在3～5 s内,质点一直向负方向运动,D正确。

3.(振动图象)(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示,已知弹簧的劲度系数为20 N/cm,则(　AB　)

A.图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N,方向指向x轴的负方向

B.图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向

C.在0～4 s内振子做了1.75次全振动

D.在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm

解析:由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知,图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F=kx=20× 0.25 N=5 N,方向指向x轴的负方向,并且现在正在远离O点向x轴的正方向运动,A,B正确;由图可读出周期为2 s,4 s内振子做两次全振动,通过的路程是s=2×4A=2×4×0.5 cm=4 cm,C,D错误。

4.(单摆)(多选)如图所示,在水平地面上有一段光滑圆弧形槽,弧的半径是R,所对圆心角小于10°,现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A,使其由静止下滑,同时把B球从距O点高度为h处静止释放,则下列说法中正确的是(　BC　)

A.小球由M至O的过程中所需时间t为

B.小球由M至O的过程中机械能守恒。

C.要使B球下落时能在O点与A球相遇,则下落的高度可能为h=R

D.要使B球下落时能在O点与A球相遇,则下落的高度可能为h=R

解析:由单摆周期公式T=2π知,小球A的运动周期T=2π,所以tAO=T=,选项A错误;在由M→O的过程中,圆弧形槽光滑,所以小球A的机械能守恒,选项B正确;欲使A,B相遇,则两球到O点的运动时间相同,A球能到O点的时间可以是T ,也可以是T,故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历时间可以是(+n)T或(+n)T(n=0,1,2,3…)。

所以A球运动的时间必为T的奇数倍,

即t==·(2n+1)(n=0,1,2,3,…)

所以h=R(n=0,1,2,3,…)。

选项C正确,D错误。

5.(受迫振动和共振)在实验室可以做“声波碎杯”的实验,用手指轻弹一只玻璃酒杯,可以听到清脆的声音,测得这声音的频率为500 Hz。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出的声波,就能使酒杯碎掉。下列说法中正确的是(　D　)

A.操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大

B.操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波

C.操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率

D.操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz,且适当增大其输出功率

解析:由题可知用手指轻弹一只酒杯,测得这声音的频率为500 Hz,就是酒杯的固有频率。当物体发生共振时,物体振动的振幅最大,甚至可能造成物体解体。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出声波的频率,将酒杯碎掉是利用的共振现象,而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率,而酒杯的固有频率为500 Hz,故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz,使酒杯产生共振,从而能使酒杯碎掉,故D正确。

1.(2016·浙江4月选考,13)(多选)摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同,其振动图象如图所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面,由图可知(　AC　)

A.甲、乙两单摆的摆长之比是

B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等

C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大

D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等

解析:由图可知==,又因为T=2π,所以摆长之比为4∶9,选项A正确;在tb时刻,乙在平衡位置,最低处,而甲在最高处,因此两者的势能差是最大的,选项C正确;由于甲偏离平衡位置高度差大于乙的,所以甲经过平衡位置时速度大于乙,所以选项D错误;根据图象可知,在ta时刻,两个单摆的位移相同但是摆长不一样,所以选项B错误。

2.(2019·全国Ⅱ卷,34)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正。下列图象中,能描述小球在开始一个周期内的xt 关系的是(　A　)

解析:由T=2π得摆长为l的单摆周期为T1=2π,摆长为l的单摆周期为T2=2π=π=T1,故B,D错误;摆长为l时,摆球离开平衡位置的最大位移为A1=2l·sin ,摆长为l时,摆球离开平衡位置的位移为A2=2l′·sin =2··sin =·sin ,小球先后摆起的最大高度相同,有A1sin =A2sin ,解得sin =2sin ,=2,故A正确,C错误。

3.(2018·天津卷,8)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为 0.1 m,则(　AD　)

A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s

B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s

C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s

D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s

解析:若振幅为0.1 m,由题意知,Δt=(n+)T,n=0,1,2,…,解得T= s,n=0,1,2,…,A项正确,B项错误;若振幅为0.2 m,t=0时,由质点简谐运动表达式y=0.2sin(t+0)(m) 可知,0.2sin0(m)=-0.1 m,t=1 s时,有0.2sin(+0)(m)=0.1 m,解得0=-或0=-;将T=6 s代入0.2sin(+0)(m)=0.1 m可得,D项正确;将T=4 s代入0.2sin(+0)(m)≠0.1 m,C项错误。