2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第一章第3节不等关系与不等式


第3节　不等关系与不等式
考试要求　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
[常用结论与微点提醒]
1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔<.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)
(2)a＝b⇔ac＝bc.(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)0 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.
(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b.
(3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(教材必修5P74T5改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.
答案　B
3.(新教材必修第一册P43T11改编)比较两数的大小：＋________＋.
解析　(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2，∴＋＞＋.
答案　＞

4.(2020·南通调研)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　)
A.<1 B.2－x<2－y
C.lg(x－y)>0 D.x2>y2
解析　由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.
答案　B
5.(2020·泰州模拟)若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　)
A.a＜－b B.a＞b
C.a2＜b2 D.＞
解析　由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.
答案　B
6.(多选题)(2020·扬州中学质检)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
解析　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确.
答案　ACD

考点一　比较两个数(式)的大小
【例1】 (1)已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________.
(2)(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.a C.c 解析　(1)当q＝1时，＝3，＝5，所以<.
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
(2)法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝
＝log6251 024>1，所以b>c.即c 法二　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
答案　(1)<　(2)B
规律方法　1.作差法一般步骤：
(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【训练1】 (1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).
(2)(2020·南通调研)若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝ab·ba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q
解析　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)由题意知p＞0，q＞0，则＝＝a·b＝，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，则＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，则＞1；若a＝b，则＝1.综上，p≥q，故选A.
答案　(1)＞　(2)A
考点二　不等式的性质
【例2】 (1)(多选题)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
(2)(组合选择题)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析　(1)因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，
＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立，故选ABC.
(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
答案　(1)ABC　(2)C
规律方法　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【训练2】 (1)(2020·南师大附中调研)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是(　　)
A.ab＞ac B.c(b－a)＜0
C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0
(2)(2019·徐州一中月考)下列命题中正确的是(　　)
A.若a＞b，c∈R，则ac＞bc
B.若a＞b，c＜d，则＞
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＞0，a＞b，则＜
解析　(1)因为a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜a.对于A，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，因为b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以c(b－a)＞0，故B不正确；对于C，因为c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正确；对于D，因为ac＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故D不正确，故选A.
(2)A中，当c＝0时不成立，c＜0时也不成立，故A不正确.B中，当c＜0＜d＜b＜a时，＜0＜，故B不正确.C中，因为a＞b，(－c)＜(－d)，不满足不等式的同向相加性，故C不正确.D中，因为ab＞0，所以a，b同号，所以当a＞b时，＜，故D正确.故选D.
答案　(1)A　(2)D
考点三　不等式及其性质的应用　多维探究
角度1　不等式在实际问题中的应用
【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.
②该小组人数的最小值为________.
解析　令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4 答案　①6　②12
角度2　利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移
【例3－2】 (经典母题)已知－1 解析　因为－1 答案　(－4，2)　(1，18)
【迁移1】 将本例条件改为“－1 解　因为－1 所以－3<－y<1，－4 又因为x 由①②得－4 故x－y的取值范围是(－4，0).
【迁移2】 将本例条件改为“已知－1 解　设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
于是解得
∴3x＋2y＝(x－y)＋(x＋y).
∵－1 ∴－<(x－y)<2，5<(x＋y)<，
∴<(x－y)＋(x＋y)<.
故3x＋2y的取值范围是.
规律方法　1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.
2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

甲
乙
维生素A(单位/kg)
600
700
维生素B(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x kg、y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________.
(2)(2019·青岛测试)已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是________.
解析　(1)x，y所满足的关系为
即
(2)依题意可得4<<8，又1 答案　(1)　(2)(4，24)

A级　基础巩固
一、选择题
1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为(　　)
A.v<40 km/h B.v>40 km/h
C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h
解析　由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h，故选D.
答案　D
2.(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　)
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
解析　运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选A，B，D.
答案　ABD
3.若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒ －>0.故选A.
答案　A
4.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.a＋>b＋ B.>
C.a－>b－ D.>
解析　取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.
答案　A
5.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A.MN
C.M＝N D.不确定
解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
答案　B
6.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　)
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析　法一　由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b 法二　当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
答案　C
7.(2020·山东齐鲁名校联考)已知0 A.M>N B.M C.M＝N D.不能确定
解析　∵00，1＋b>0，1－ab>0.
∴M－N＝＋＝>0，∴M>N，故选A.
答案　A
8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0 A.c≤3 B.3 C.69
解析　由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
得解得
则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，
由0 答案　C
二、填空题
9.________(填“>”“<”或“＝”).
解析　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.
答案　<
10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
解析　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
答案　[5，10]
11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确的命题是________(填序号).
解析　∵ab>0，bc－ad>0，
∴－＝>0，∴①正确；
∵ab>0，又－>0，即>0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又－>0，即>0，
∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.
答案　①②③
12.若0 解析　∵0 ∴a<1且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋<.即a<2ab<.
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>.
∵ ∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1
＝(2b－1)(b－1)<0.
答案　a<2ab< B级　能力提升
13.(2020·南通调研)若a＞1＞b＞0，－1＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A.2b＜2－a B.logab＜logb(－c)
C.a2＜b2 D.c2＜logba
解析　A中，函数y＝2x在R上单调递增，∵a＞b＞0，∴b＞0＞－a，∴2b＞2－a，故A错误.B中，函数y＝logax(a＞1)在(0，＋∞)上单调递增，∵0＜b＜1，∴logab＜loga1＝0.函数y＝logbx(0＜b＜1)在(0，＋∞)上单调递减，∵－1＜c＜0，∴0＜－c＜1，∴logb(－c)＞logb1＝0.∴logab＜logb(－c)，故B正确.C中，函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故C错误.D中，∵－1＜c＜0，∴0＜c2＜1.又logba＜logb1＝0，∴c2＞logba，故D错误.故选B.
答案　B
14.(2019·苏北四市调研)设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝a⊕b＝若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则(　　)
A.mn≥4且p＋q≤4 B.m＋n≥4且pq≤4
C.mn≤4且p＋q≥4 D.m＋n≤4且pq≤4
解析　结合定义及m⊗n≥2可得或
即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；
结合定义及p⊕q≤2，可得或
即q 答案　A
15.已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________.
解析　因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；当a<0时，b2<1 综上知实数b的取值范围是(－∞，－1).
答案　(－∞，－1)
16.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________.
解析　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c).又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>.
所以解得－2<<－.
即的取值范围为.
答案　
C级　创新猜想
17.(多选题)若0＜a＜1，b＞c＞1，则(　　)
A.＞1 B.＞
C.ca－1＜ba－1 D.logca＜logba
解析　对于A，∵b＞c＞1，∴＞1.∵0＜a＜1，则＞＝1，故正确.对于B，若＞，则bc－ab＞bc－ac，即a(c－b)＞0，这与0＜a＜1，b＞c＞1矛盾，故错误.对于C，∵0＜a＜1，∴a－1＜0.∵b＞c＞1，∴ca－1＞ba－1，故错误.对于D，∵0＜a＜1，b＞c＞1，∴logca＜logba，故正确.故选AD.
答案　AD
18.(开放题)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________________(答案不唯一，写出一个即可).
解析　使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，
∵a>b>0，∴2(－)>0，
所以()2－(－)2>0，即>－.
答案　a>b>0(答案不唯一)