2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第二讲　函数的定义域、值域


第二讲　函数的定义域、值域
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　函数的定义域
函数y＝f(x)的定义域

1．求定义域的步骤：
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
2．求函数定义域的主要依据
(1)整式函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母不等于0.
(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(4)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}.
(6)指数函数的定义域为R.
(7)对数函数的定义域为(0，＋∞).
知识点二　函数的值域
基本初等函数的值域：
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{y|y≥}；当a<0时，值域为{y|y≤}.
3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞).
5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　CD　)
A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等
B．函数y＝定义域为x>1
C．函数y＝f(x)定义域为[－1,2]，则y＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1,1]
D．函数y＝log2(x2＋x＋a)的值域为R，则a的取值范围为(－∞，]
题组二　走进教材
2．(必修1P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析]　使函数有意义满足，解得x≥0且x≠2，故选C．

3．(必修1P32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　B　)

A．f()，f(－)
B．f(0)，f()
C．f(－)，f(0)
D．f(0)，f(3)
4．(必修1P39BT1改编)已知函数f(x)＝x＋，x∈[2,4]的值域为[6，].
[解析]　当x＝3时取得最小值6，当x＝2取得最大值，值域为[6，]．
题组三　考题再现
5．(2018·江苏，5分)函数f(x)＝的定义域为[2，＋∞).
[解析]　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2.则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．
6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为2.
[解析]　解法一：(分离常数法)f(x)＝＝＝1＋，∴x≥2，∴x－1≥1,0<≤1，∴1＋∈(1,2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.
解法二：(反解法)令y＝，∴xy－y＝x，∴x＝.∵x≥2，∴≥2，∴－2＝≥0，解得1 解法三：(导数法)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　求函数的定义域——多维探究
角度1　求具体函数的定义域
例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　C　)
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
(2)(2020·衡中调研卷)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为(2，)∪(，3).
[解析]　(1)依题意知，
即即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．
(2)使函数有意义满足，解得2 角度2　求抽象函数的定义域
例2 已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　B　)
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
[分析]　求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相同．
[解析]　由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1 [引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？
[解析]　f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1 [引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0,1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？
[解析]　∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．
∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，
因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．

名师点拨 ☞
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　B　)
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
(2)(角度1)(2020·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　D　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)(角度2)(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　B　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．[0,1) D．(0,1]
[解析]　(1)由已知得
解得x∈(－1,0)∪(0,3]．故选B．
(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，得a＝2.故选D．
(3)由题意，函数f(x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又g(x)满足1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故选B．
考点二　求函数的值域——师生共研
例3 求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝x－；
(5)y＝x＋；
(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[解析]　(1)解法一：分离常数法：
y＝＝－1＋，
∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2.
∴－1<－1＋≤1.
即函数值域为(－1,1]．
解法二：反解法：
由y＝，得|x|＝.
∵|x|≥0，∴≥0，∴－1 (2)解法一：配方法：y＝，
∴0≤y≤，∴值域为[0，]．
解法二：复合函数法：
y＝，t＝－2x2＋x＋3，
由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤，
又∵y＝有意义，∴0≤t≤，
∴0≤y≤，
∴值域为[0，]．
(3)y＝＝x＋＋1
解法一：基本不等式法
由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.
∵|x＋|＝|x|＋||≥2＝2，
∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解法二：判别式法
由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0.
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解法三：导数法(单调性法)
令y′＝1－＝<0，
得－1 ∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；
函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.
∴y≤－1或y≥3.
即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)解法一：换元法
设＝t(t≥0)，得x＝，
∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，
∴y∈(－∞，]．即函数的值域为(－∞，]．
解法二：单调性法
∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为(－∞，]．又∵函数y＝x，y＝－在(－∞，)上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈(－∞，]．
(5)三角换元法：
设x＝sin θ，θ∈[－，]，
y＝sin θ＋cos θ＝－sin(θ＋)，
∵θ∈[－，]，∴θ＋∈[－，]，
∴sin θ∈[－，1]∴y∈[－1，]．
(6)解法一：绝对值不等式法：
由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
所以函数值域为[3，＋∞)．
解法二：数形结合法：

y＝
画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．

名师点拨 ☞
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例3(1)．
(2)反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．
(3)配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)．
(4)不等式法；如例3(3)．
(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．
(6)换元法：形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数；如例3(4)；形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．
(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)．
(8)导数法．
〔变式训练2〕
求下列函数的值域．
(1)y＝()x2－2x；
(2)y＝2x＋；
(3)y＝(x>1)．
[解析]　(1)令x2－2x＝t，∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴t≥－1，又y＝()t在[－1，＋∞)上单调递减，∴0 ∴函数f(x)＝()x2－2x的值域为(0,4]．
(2)解法一：单调性法：
定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝均在[－1，＋∞)上递增，故y≥2×(－1)＋＝－2.
解法二：换元法：
令＝t，则t≥0，且x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋)2－≥－2(t≥0)．
∴函数值域为[－2，＋∞)．
(3)令x－1＝t，则x＝t＋1(t>0)，
∴y＝＝＝
∵t＋≥4(t＝2时取等号)
∴t＋＋3≥7，∴0 ∴函数y＝的值域为(0，]．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
已知函数的定义域或值域求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
[分析]　 (1)由f(x)的定义域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0的解集为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立；
(2)由f(x)的值域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取所有正数，即y＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1图象的开口向上且与x轴必有交点．
[解析]　(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，
对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是即
∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．
∴a≤－1或a>.
(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得1
名师点拨 ☞
已知函数的定义域，等于是知道了x的范围，(1)当定义域不是R时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．
〔变式训练3〕
　(1)已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为[0,1].
(2)(2020·甘肃天水三中阶段测试)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(0,4] B．[，4]
C．[，3] D．[，＋∞)
[解析]　(1)①当m＝0时，y＝，其定义域为R.
②当m≠0时，由定义域为R可知，
mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，
于是有
解得0 ∴m的取值范围是[0,1]．
(2)由x2－3x－4＝－得x＝；由x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3，又函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，∴≤m≤3.