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2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第六讲 双曲线
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第六讲 双曲线
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；
(3)当a＞c时，集合P是__空集__．
知识点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1__(－a,0)__，
A2__(a,0)__
顶点坐标：
A1__(0，－a)__，
A2__(0，a)__
渐近线
y＝ ±x
y＝ ±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)．
过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a．
(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是( CD )
A．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线
C．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于
D．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )
A． B．5
C． D．2
[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝．
3．(必修2P61A组T3)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( A )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
[解析] 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
题组三 考题再现
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( A )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] 由题意e＝＝＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 椭圆＋＝1的一焦点为(3,0)，
∴双曲线C中有c＝3，且焦点在x轴上，
又＝，且c2＝a2＋b2，
∴a2＝4，b2＝5，∴C的方程为－＝1，故选B．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 双曲线的定义及其应用——自主练透
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( B )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2020·河南洛阳统考)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为__9__．
[解析]
(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
∴|MF2|＝2．
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9．
名师点拨 ☞
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
〔变式训练1〕
(1)在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sin B－sin C＝sin A时，则点A的轨迹方程为 －＝1(x>2) ．
(2)(2019·西安模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] (1)设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sin B－sin C＝sin A，得－＝ .又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为－＝1(x>2)．
(2)因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，即e＝＝.故选B．
考点二 双曲线的标准方程——师生共研
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)；
(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
[解析] (1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12．
∴所求双曲线方程为－＝1．
(2)设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.∴＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.∴＝5，λ＝－5．
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1．
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn>0)
∴解之得
∴双曲线方程为－＝1．
(4)依题意，e＝⇒a＝b.设方程为－＝1，
则－＝1，解得m＝6.∴－＝1．
名师点拨 ☞
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；②与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2
(1)(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( A )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
(2)(2019·石家庄重点中学摸底考试)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
[解析] (1)∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，
∴－1
考点三 双曲线的几何性质——多维探究
角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围
例3 (2019·武汉武昌区调研)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于__8__．
[解析] 双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8．
角度2 双曲线的渐近线
例4 (1)(2019·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)(2020·福建厦门质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
[解析] (1)根据题意，在直线l方程中令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1．
(2)设双曲线的另一个焦点为F，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由，得：y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，C的渐近线方程为y＝±x.故选B．
角度3 双曲线的离心率
例5 (1)(2020·福建三明期末质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋y－4＝0垂直，则该双曲线的离心率为( C )
A． B．
C．2 D．4
(2)(2019·四川省绵阳市诊断)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，OF1为半径作圆，与双曲线C相交，若顺次连接这些交点和F1，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线C的离心率为( C )
A． B．2
C．＋1 D．3
(3)(2019·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是( C )
A．(1＋，＋∞) B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) D．(2,1＋)
[解析] (1)由题意可知·(－)＝－1，∴＝，
∴c＝＝＝2.故选C．
(2)如图，由题意可知△OAF2为正三角形，且AF1⊥AF2，
∴2a＝|AF1|－|AF2|＝(－1)c，
∴e＝＝＝＋1，故选C．
(3)由题意，得AB为双曲线的通径，
其长度为|AB|＝，因为∠AEB>，
所以∠AEF>，
则tan∠AEF＝>1，
即>1，
即c2－a2>a(a＋c)，
即e2－e－2>0，解得e>2.故选C．
名师点拨 ☞
1．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程．
〔变式训练3〕
(1)(角度1)(2020·安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为( C )
A．1 B．
C．2 D．2
(2)(角度2)(2020·福州质量检测)已知双曲线E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，则E的渐近线方程为( B )
A．y＝± B．y＝±
C．y＝±2 D．y＝±4x
(3)(角度3)(2019·东北师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)在左，右焦点分别为F1，F2，以O为圆心，以|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A，B两点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( A )
A．2 B．
C．＋1 D．＋2
[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，一个焦点F(2,0)，所以a2＋b2＝c2＝4，①
＝，②
联立①、②可得：a2＝3，b2＝1，∴b＝1，从而2b＝2，
∴该双曲线的虚轴长2，故选C．
(2)因为E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，所以m＝，所以E的方程为－y2＝1，所以E的渐近线方程为y＝±，故选B．
(3)设|F1F2|＝2c，设AB与x轴相较于M点，根据正三角形的性，可以求得|F2A|＝c，|MA|＝c，|MF2|＝c，从而求得A(－，)，所以有＝，＝＝2，故选A．
考点四 直线与双曲线——多维探究
角度1 直线与双曲线位置关系
例6 (2019·唐山一中模拟)过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( C )
A．0 B．2
C．4 D．无数
[解析]
通解：由题意可得直线的斜率一定存在，
设为k，则直线方程为y＝kx＋1，
代入双曲线方程整理得
(9－k2)x2－2kx－10＝0①
当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有一个公共点；
当k≠±3时，由Δ＝0解得k＝±，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确．
优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为__(－3,3)__．
[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有__3__条．
[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有__2__条．
[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为 (3，) ．
[解析] 设直线方程为y＝kx＋1，
由得(9－k2)x2－2kx－10＝0．
由Δ＝4k2＋40(9－k2)＝0，得k＝±，即k切＝±．
结合图形可知3
[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为__(－∞，－3)∪(3，＋∞)__．
名师点拨 ☞
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入．
2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
角度2 弦的问题
例7 (1)(2019·山东师大附中模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( B )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(2)以A(2,1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为__4x－y－7＝0__．
[解析] (1)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6.故选B．
(2)设弦的端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又MN的中点为A(2,1)，即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴4(x1－x2)＝y1－y2，即kMN＝4，
∴所求直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0．
名师点拨 ☞
(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．
(2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用．
〔变式训练4〕
(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是 (1，) ．
(2)已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__6__．
[解析] (1)由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0得k＝±，
结合图形可知1
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，相减得直线AB的斜率kAB＝＝＝＝＝6．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
高考中的离心率问题
例8 (2019·天津南开区期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为( A )
A． B．
C．2 D．
(2)(2020·广东六校联考)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－，0)，点A的坐标为(0,2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( D )
A． B．
C．2 D．
(3)(2019·江西吉安五校联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则该双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
(4)(2019·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( D )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[解析] (1)由知|MF1|＝，
∴≥c－a，∴e＝≤，故选A．
(2)由题易知双曲线的右焦点F1(，0)，
即c＝，AF＝＝3，
点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知PF－PF1＝2a，∴PF＝PF1＋2a，
所以△APF周长为：
AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋PF1＋2a，
当点A，P，F1共线时，周长最小，
即AF＋AF1＋2a＝8，解得a＝1，
故离心率e＝，故选D．
(3)由题意可知|OF1|＝|OF2|＝|OP|，
∴PF2⊥PF1，∴＝，
设|PF2|＝bx，则x2(b2＋a2)＝4c2，∴x＝2，
又2a＝|PF2|－|PF1|＝2(b－a)，∴2a＝b，
∴e＝＝，故选B．
(4)由题意可知≥tan 60°＝，
∴e＝≥2，故选D．
〔变式训练5〕
(1)(2019·东北三省四市模拟)已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为 ．
(2)(2019·全国卷Ⅱ，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( A )
A． B．
C．2 D．
(3)(2020·湖北武汉综合测试)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点，以为MN直径的圆与C的渐近线相切，则C的离心率为( C )
A．－1 B．
C． D．
(4)(2019·湖南师大附中模拟)斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( D )
A．e< B．1
[解析] (1)由题意知：2c＝AB＝12，
即c＝6，BD＝＝13，
由双曲线定义可得
2a＝BD－AD＝13－5＝8，a＝4，
∴双曲线的离心率为e＝＝．
(2)如图，连接OP，∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴PQ过圆心(，0)易得P(，)．
又∵|OP|＝a，∴a2＝()2＋()2＝，
∴()2＝2，∴e＝＝.故选A．
(3)由题意知＝b，即＝1，
∴e＝＝，故选C．
(4)双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图合分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即>2，＝＝e2－1>4，解得双曲线的离心率e>，故选D．
第六讲 双曲线
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；
(3)当a＞c时，集合P是__空集__．
知识点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1__(－a,0)__，
A2__(a,0)__
顶点坐标：
A1__(0，－a)__，
A2__(0，a)__
渐近线
y＝ ±x
y＝ ±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)．
过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a．
(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是( CD )
A．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线
C．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于
D．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )
A． B．5
C． D．2
[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝．
3．(必修2P61A组T3)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( A )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
[解析] 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
题组三 考题再现
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( A )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] 由题意e＝＝＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 椭圆＋＝1的一焦点为(3,0)，
∴双曲线C中有c＝3，且焦点在x轴上，
又＝，且c2＝a2＋b2，
∴a2＝4，b2＝5，∴C的方程为－＝1，故选B．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 双曲线的定义及其应用——自主练透
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( B )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2020·河南洛阳统考)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为__9__．
[解析]
(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
∴|MF2|＝2．
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9．
名师点拨 ☞
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
〔变式训练1〕
(1)在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sin B－sin C＝sin A时，则点A的轨迹方程为 －＝1(x>2) ．
(2)(2019·西安模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] (1)设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sin B－sin C＝sin A，得－＝ .又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为－＝1(x>2)．
(2)因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，即e＝＝.故选B．
考点二 双曲线的标准方程——师生共研
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)；
(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
[解析] (1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12．
∴所求双曲线方程为－＝1．
(2)设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.∴＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.∴＝5，λ＝－5．
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1．
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn>0)
∴解之得
∴双曲线方程为－＝1．
(4)依题意，e＝⇒a＝b.设方程为－＝1，
则－＝1，解得m＝6.∴－＝1．
名师点拨 ☞
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；②与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2
(1)(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( A )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
(2)(2019·石家庄重点中学摸底考试)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
[解析] (1)∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，
∴－1
考点三 双曲线的几何性质——多维探究
角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围
例3 (2019·武汉武昌区调研)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于__8__．
[解析] 双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8．
角度2 双曲线的渐近线
例4 (1)(2019·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)(2020·福建厦门质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
[解析] (1)根据题意，在直线l方程中令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1．
(2)设双曲线的另一个焦点为F，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由，得：y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，C的渐近线方程为y＝±x.故选B．
角度3 双曲线的离心率
例5 (1)(2020·福建三明期末质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋y－4＝0垂直，则该双曲线的离心率为( C )
A． B．
C．2 D．4
(2)(2019·四川省绵阳市诊断)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，OF1为半径作圆，与双曲线C相交，若顺次连接这些交点和F1，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线C的离心率为( C )
A． B．2
C．＋1 D．3
(3)(2019·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是( C )
A．(1＋，＋∞) B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) D．(2,1＋)
[解析] (1)由题意可知·(－)＝－1，∴＝，
∴c＝＝＝2.故选C．
(2)如图，由题意可知△OAF2为正三角形，且AF1⊥AF2，
∴2a＝|AF1|－|AF2|＝(－1)c，
∴e＝＝＝＋1，故选C．
(3)由题意，得AB为双曲线的通径，
其长度为|AB|＝，因为∠AEB>，
所以∠AEF>，
则tan∠AEF＝>1，
即>1，
即c2－a2>a(a＋c)，
即e2－e－2>0，解得e>2.故选C．
名师点拨 ☞
1．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程．
〔变式训练3〕
(1)(角度1)(2020·安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为( C )
A．1 B．
C．2 D．2
(2)(角度2)(2020·福州质量检测)已知双曲线E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，则E的渐近线方程为( B )
A．y＝± B．y＝±
C．y＝±2 D．y＝±4x
(3)(角度3)(2019·东北师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)在左，右焦点分别为F1，F2，以O为圆心，以|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A，B两点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( A )
A．2 B．
C．＋1 D．＋2
[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，一个焦点F(2,0)，所以a2＋b2＝c2＝4，①
＝，②
联立①、②可得：a2＝3，b2＝1，∴b＝1，从而2b＝2，
∴该双曲线的虚轴长2，故选C．
(2)因为E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，所以m＝，所以E的方程为－y2＝1，所以E的渐近线方程为y＝±，故选B．
(3)设|F1F2|＝2c，设AB与x轴相较于M点，根据正三角形的性，可以求得|F2A|＝c，|MA|＝c，|MF2|＝c，从而求得A(－，)，所以有＝，＝＝2，故选A．
考点四 直线与双曲线——多维探究
角度1 直线与双曲线位置关系
例6 (2019·唐山一中模拟)过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( C )
A．0 B．2
C．4 D．无数
[解析]
通解：由题意可得直线的斜率一定存在，
设为k，则直线方程为y＝kx＋1，
代入双曲线方程整理得
(9－k2)x2－2kx－10＝0①
当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有一个公共点；
当k≠±3时，由Δ＝0解得k＝±，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确．
优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为__(－3,3)__．
[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有__3__条．
[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有__2__条．
[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为 (3，) ．
[解析] 设直线方程为y＝kx＋1，
由得(9－k2)x2－2kx－10＝0．
由Δ＝4k2＋40(9－k2)＝0，得k＝±，即k切＝±．
结合图形可知3
[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为__(－∞，－3)∪(3，＋∞)__．
名师点拨 ☞
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入．
2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
角度2 弦的问题
例7 (1)(2019·山东师大附中模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( B )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(2)以A(2,1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为__4x－y－7＝0__．
[解析] (1)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6.故选B．
(2)设弦的端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又MN的中点为A(2,1)，即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴4(x1－x2)＝y1－y2，即kMN＝4，
∴所求直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0．
名师点拨 ☞
(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．
(2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用．
〔变式训练4〕
(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是 (1，) ．
(2)已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__6__．
[解析] (1)由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0得k＝±，
结合图形可知1
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，相减得直线AB的斜率kAB＝＝＝＝＝6．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
高考中的离心率问题
例8 (2019·天津南开区期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为( A )
A． B．
C．2 D．
(2)(2020·广东六校联考)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－，0)，点A的坐标为(0,2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( D )
A． B．
C．2 D．
(3)(2019·江西吉安五校联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则该双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
(4)(2019·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( D )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[解析] (1)由知|MF1|＝，
∴≥c－a，∴e＝≤，故选A．
(2)由题易知双曲线的右焦点F1(，0)，
即c＝，AF＝＝3，
点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知PF－PF1＝2a，∴PF＝PF1＋2a，
所以△APF周长为：
AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋PF1＋2a，
当点A，P，F1共线时，周长最小，
即AF＋AF1＋2a＝8，解得a＝1，
故离心率e＝，故选D．
(3)由题意可知|OF1|＝|OF2|＝|OP|，
∴PF2⊥PF1，∴＝，
设|PF2|＝bx，则x2(b2＋a2)＝4c2，∴x＝2，
又2a＝|PF2|－|PF1|＝2(b－a)，∴2a＝b，
∴e＝＝，故选B．
(4)由题意可知≥tan 60°＝，
∴e＝≥2，故选D．
〔变式训练5〕
(1)(2019·东北三省四市模拟)已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为 ．
(2)(2019·全国卷Ⅱ，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( A )
A． B．
C．2 D．
(3)(2020·湖北武汉综合测试)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点，以为MN直径的圆与C的渐近线相切，则C的离心率为( C )
A．－1 B．
C． D．
(4)(2019·湖南师大附中模拟)斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( D )
A．e< B．1
[解析] (1)由题意知：2c＝AB＝12，
即c＝6，BD＝＝13，
由双曲线定义可得
2a＝BD－AD＝13－5＝8，a＝4，
∴双曲线的离心率为e＝＝．
(2)如图，连接OP，∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴PQ过圆心(，0)易得P(，)．
又∵|OP|＝a，∴a2＝()2＋()2＝，
∴()2＝2，∴e＝＝.故选A．
(3)由题意知＝b，即＝1，
∴e＝＝，故选C．
(4)双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图合分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即>2，＝＝e2－1>4，解得双曲线的离心率e>，故选D．
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