2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第三讲　圆的方程


第三讲　圆的方程

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　圆的定义及方程
定义
平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C：__(a，b)__
半径：__r__
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：(－，－)
半径：r＝　　

知识点二　点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2__>__r2⇔点在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2__<__r2⇔点在圆内．

1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
2．圆心在任一弦的垂直平分线上．
3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　AC　)
A．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
B．方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆
C． 若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0
D．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆
题组二　走进教材
2．(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝10__．
[解析]　设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　C　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[解析]　因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故选C．
题组三　考题再现
4．(2016·课标全国Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　A　)
A．－ B．－
C． D．2
[解析]　x2＋y2－2x－8y＋13＝0可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为(1,4)．由1＝，得a＝－．
5．(2019·江西新余)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　C　)
A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2
[解析]　设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　确定圆的方程——自主练透
例1　(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　B　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2019·重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　B　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
(3)(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．
(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．
[解析]　(1)设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．
设圆心坐标为(a，－a)，
则＝
即|a|＝|a－2|，解得a＝1，
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
(2)设圆心C(a,0)(a>0)，由题意知＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选B．
(3)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得
解得故圆的方程为x2＋y2－2x＝0．
(4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a>0，半径为r，则＝.∵a>0，∴a＝2.∴r2＝(2－0)2＋(0－)2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．
名师点拨 ☞
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
〔变式训练1〕
(1)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为__(x＋1)2＋(y＋2)2＝10__．
(2)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　A　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
[解析]　(1)AB的中点为H(0，－4)，
且kAB＝＝，
∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0．
由得圆心C(－1，－2)，∴r2＝AC2＝10．
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
(2)由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．
故选A．
考点二　与圆有关的最值问题——多维探究
角度1　斜率型最值
例2　已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为　，－　．
[解析]　设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由＝1，解得k＝±，故填，－．
角度2　截距型最值
例3　(2019·海南海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　B　)
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
[解析]　x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m；当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．

角度3　距离型最值
例4　(2019·沈阳模拟)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方，由已知可得点P在直线l；x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A．
名师点拨 ☞
与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
〔变式训练2〕
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)(角度1)的最大值和最小值；
(2)(角度2)y－x的最大值和最小值；
(3)(角度3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解析]　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以为半径的圆．

设＝k，即y＝kx，
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，所以kmax＝，kmin＝－．
(2)解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
解法二：设圆的参数方程为(0≤θ<2π)，
则y－x＝sinθ－cosθ－2＝sin(θ－)－2，
当θ＝π时，取最大值－2，
当θ＝π时，取最小值－－2．
(3)解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4．
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
解法二：由(2)中的参数方程可得：
x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ从而得最值．
考点三　与圆有关的轨迹问题——师生共研
例5　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解析]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
名师点拨 ☞
求与圆有关的轨迹方程的方法
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〔变式训练3〕
(2019·河北衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解析]　(1)解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．
由到的定义如，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，
M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
对称思想在圆中的应用
例6　(1)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　D　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
(2)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是　2　．
[解析]　(1)圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B．设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－，故选D．

(2)圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝5，其圆心C(2，1)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为C′(－3，－4)，|PA|＋|PQ|的最小值为|AC′|－＝－＝2．

[引申]本例(1)中入射光线所在直线的方程为__4x－3y－1＝0或3x－4y－6＝0__．
名师点拨 ☞
1．光的反射问题一般化为轴对称解决．
2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
3．定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半径．
〔变式训练4〕
(多选题)能够把圆O：x2＋y2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为圆O的“亲和函数”，下列函数是圆O的“亲和函数”的是(　ABD　)
A．f(x)＝4x3＋x2 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ D．f(x)＝tan
[解析]　若函数f(x)是圆O的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称，由圆O：x2＋y2＝9的圆心为坐标原点，由于A中f(x)＝4x3＋x，B中f(x)＝ln ，D中f(x)＝tan 的图象均过圆心(0,0)，且均为奇函数，故均满足条件；在C中f(x)＝的图象不过圆心，不满足要求，故选ABD．