2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第七讲　对数与对数函数


第七讲　对数与对数函数
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lgN
自然对数
底数为e
ln_N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1).
(2)对数恒等式：
alogaN＝N.(其中a>0且a≠1，N>0)
(3)对数的换底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
(4)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

知识点二　对数函数的图象与性质
1．对数函数的定义、图象和性质




定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y<0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为
增函数
在(0，＋∞)上为
减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．



1．指数式与对数式互化

2．换底公式的两个重要结论
①logab＝；
②logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABC　)
A．2lg 3≠3lg 2
B．若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN
C．y＝log2x2不是对数函数，而y＝log2(－x)是对数函数
D．函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同
[解析]　对于A，设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.对于B，M>0，N>0才正确；对于C，y＝log2(－x)不是对数函数；对于D正确；故选A、B．
题组二　走进教材
2．(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：
(1)log2＝－；
(2)log53＋log5＝0；
(3)lg＋2lg2－()－1＝－1；
(4)(log29)·(log34)＝4.
[解析]　(1)log2＝log22＝－；
(2)log53＋log5＝log51＝0；
(3)lg＋2lg2－()－1＝lg＋lg4－()－1＝lg10－2＝－1；
(4)解法一：原式＝·＝＝4.
解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.
3．(必修1P74AT4改编)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为(　C　)
A．a B．b
C．2a＋b D．2ab
[解析]　因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg 2＋lg3＝2a＋b.故选C．
4．(必修1P74AT7改编)函数y＝的定义域是(，1].　
[解析]　log(2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，
解得 5．(必修1P75AT10改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(　B　)

A．3,2，，
B．2,3，，
C．2,3，，
D．3,2，，
[解析]　解法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，，.
解法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．
题组三　考题再现
6．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　B　)
A．a C．c [解析]　∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a 7．(2017·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．



KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
　　　　　　 　　　 　　　　　　 　　　　　


考点一　对数与对数运算——自主练透
例1 (1)＝.
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝.
(3)(2020·保定模拟)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝.
(4)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝12，用m，n表示log46为.
[解析]　(1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＝.
(3)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
(4)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝＝＝.故填12；.
考点二　对数函数的图象与性质
考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研
例2 (1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　B　)

(2)(2020·合肥月考)当00且a≠1)，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
[解析]　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．
本题还有以下解法：
因为0 所以logax>4x>1，
所以0 则有4＝2，＝1，显然4x
名师点拨 ☞
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
〔变式训练1〕
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0
(2)若不等式x2－logax<0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围为[，1).
[解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．

(2)由x2－logax<0
得x2 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，
要使x∈(0，)时，不等式x2 只需f1(x)＝x2在(0，)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；
当0 要使x2 需f1()≤f2()，
所以有()2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.
即实数a的取值范围是[，1)．
考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较对数值的大小
例3 (2019·天津，5分)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　A　)
A．a C．b [解析]　a＝log520.51＝，故alog0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c 角度2　利用对数函数单调性求参数的取值范围
例4 (2020·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－4,4]
[分析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．
[解析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减⇒函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0⇒⇒－4 角度3　简单对数不等式的解法
例5 (2020·福建漳州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为(　C　)
A．{x| B．{x|x>}
C．{x|}
D．{x|x<或 [解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f( (2x－5))>f(log38)化为| (2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或
名师点拨 ☞
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·山东日照一中期中)已知a＝log23，b＝log34，c＝log411，则a，b，c的大小关系为(　B　)
A．b C．a (2)(角度2)若函数f(x)＝ (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)
A．[，3] B．[，2]
C．[，2) D．[，＋∞)
(3)(角度3)(2020·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　B　)
A．[，2] B．[，4]
C．[，2] D．[，4]
[解析]　(1)∵a＝log23，b＝log34，c＝log411，
∴b＝log34 (2)由题意得：y＝ (－x2＋4x＋5)增区间为(2,5)，
所以，解得m∈[，2)，故选C．
(3)∵log0.25a＝a＝－log4a且f(x)为偶函数，
∴f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)可化为f(log4a)≤f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴|log4a|≤1，
∴log4＝－1≤log4a≤1≤log44，∴≤a≤4，故选B．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
有关对数运算的创新应用问题
例6 (2019·北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
[解析]　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25，
∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.故选A．

名师点拨 ☞
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
〔变式训练3〕
　里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍．
[解析]　根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A6＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．