2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第十一讲　导数的概念及运算


第十一讲　导数的概念及运算
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　导数的概念与导数的运算
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示为＝.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝ .
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝ .
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0(C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)
(3)(sin x)′＝cos_x;_ (4)(cos x)′＝－sin_x；
(5)(ax)′＝axln_a;_ (6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′＝； (8)(ln x)′＝.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
特别地：[C·f(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)
(3)[]′＝(g(x)≠0).
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
知识点二　导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

1．[]′＝－.
2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　


题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABC　)
A．在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同
B．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
C．(sin )′＝cos
D．[ln(－x)]′＝
[解析]　对于A，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
对于B，如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．

对于C，(sin )′＝0，D正确；故选A、B、C．
题组二　走进教材
2．(选修2－2P18AT4改编)计算：
(1)(x4－3x3＋1)′＝4x3－9x2；
(2)(xex)′＝ex＋xex；
(3)(sinx·cosx)′＝cos2x；
(4)()′＝－.
3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝(　C　)
A．e B．1
C．－1 D．－e
[解析]　f′(x)＝2f′(1)＋ln x＋1，
当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1，故选C．
题组三　考题再现
4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
[解析]　因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
5．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是(e,1).
[解析]　设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e,1)．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　导数的基本运算——师生共研
例1 (1)求下列函数的导数．
①y＝ln x＋；
②y＝(2x2－1)(3x＋1)；
③y＝x－sincos；
④y＝；
⑤y＝ln；
⑥y＝e2xcos3x.
(2)若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝－.
[分析]　①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．
(2)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
[解析]　(1)①y′＝(ln x＋)′＝(ln x)′＋()′＝－.
②因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
另解：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
③因为y＝x－sincos＝x－sinx，
所以y′＝(x－sinx)′＝x′－(sinx)′
＝1－cosx.
④y′＝()′＝
＝－.
⑤y＝ln＝ln(1－2x2)，令u＝1－2x2，
则y＝ln由y＝ln u与u＝1－2x2复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(ln u)′·(1－2x2)′＝·(－4x)＝.
⑥y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′
＝2e2x·cos3x－3e2xsin3x＝e2x(2cos3x－3sin3x)．
(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－2f′(1)x＋3，所f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝－x＋3，将x＝3代入f′(x)，可得f′(3)＝－.

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导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．
(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．
〔变式训练1〕
(1)填空
①若y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝3x2＋12x＋11；
②若y＝exln x，则y′＝ex(＋ln x)；
③若y＝tanx，则y′＝；
④若y＝(x2＋2x－1)e2－x，则y′＝(3－x2)e2－x；
⑤若y＝，则y′＝.
(2)f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0＝1.
(3)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝－2.
(4)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝2.
[解析]　(1)①y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.
②y′＝exln x＋ex·＝ex(＋ln x)．
③y＝tanx＝，∴y′＝＝＝.
④y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′
＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)
＝(3－x2)e2－x.
⑤y′＝
＝
＝.
(2)f′(x)＝2 018＋ln x＋x·＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得x0＝1.故填1.
(3)f′(x)＝4ax3＋2bx，因为f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－2.故填－2.
(4)解法一：令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0＝2.故填2.
考点二　导数的几何意义——多维探究
角度1　求曲线的切线方程
例2 已知曲线f(x)＝x3－x，则
(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为2x－y－2＝0；
(2)曲线过点(1,0)的切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0；
(3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0.
[分析]　(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得；
(2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5.
[解析]　f′(x)＝3x2－1.
(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2.
∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为P(x0，x－x0)，则k切＝f′(x0)＝3x－1，
∴所求切线方程为y－x＋x0＝(3x－1)(x－x0)，
又切线过点(1,0)，∴－x＋x0＝(3x－1)(1－x0)
解得x0＝1或－.
故所求切线方程为y＝2(x－1)或y－＝－(x＋)即2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
(3)设切点坐标为(x0，x－x0)，则k切＝3x－1＝5解得x0＝±，故切点为(，)或(－，－)所以所求切线方程为y－＝5(x－)或y＋＝5(x＋)即5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0.

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求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注：也可利用f′(x1)＝＝k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线．
角度2　求切点坐标
例3 设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为(　A　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[解析]　对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－＝－1，得x＝1，则y＝1，所以P的坐标为(1,1)．故选A．
角度3　求参数的值(或范围)
例4 (2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[解析]　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.　
(3)(角度2)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　C　)
A．(0,1) B．(1，－1)
C．(1,3) D．(1,0)
(4)(角度3)(2018·课标Ⅲ，14)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.
[解析]　(1)依题意得y′＝2cos x－sin x，y′＝(2cos x－sin x)＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．
(2)设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，
得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
(3)由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，
此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)．
(4)本题考查导数的综合应用．设f(x)＝(ax＋1)ex，则f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k＝f′(0)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
两曲线的公共切线问题
例5 (2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　C　)
A．1 B．
C．1－ln 2 D．1－2ln 2
[解析]　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)．
化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，
依题意，，解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.故选C．
[引申]本例中两曲线公切线方程为y＝2x＋1－ln_2.
[解析]　k＝＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln 2.


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同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.
∴，解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．
〔变式训练3〕
　若曲线y＝x＋ln x与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a＝8.
[解析]　设直线l与曲线C：y＝x＋ln x切于P(x0，x0＋ln x0)，则k切＝y′|x＝x0＝1＋.
∴1＋＝，解得x0＝1，
∴切线l的方程为y＝2x－1.
又直线l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切．
∴方程2x－1＝ax2＋(a＋2)x＋1即ax2＋ax＋2＝0的判别式Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或0(舍去)．