2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第九章第二讲　排列与组合


第二讲　排列与组合
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　排列与排列数
(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__.
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__.
知识点二　组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__.
(4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__.
注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A、C中的隐含条件m≤n，且m，n∈N＋.
重要结论
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　BD　)
A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
C．若组合式C＝C，则x＝m成立
D．kC＝nC
题组二　走进教材
2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　D　)
A．144 B．120
C．72 D．24
[解析]　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
题组三　考题再现
3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　D　)
A．84种 B．98种
C．112种 D．140种
[解析]　由题意分析不同的邀请方法有：
CC＋C＝112＋28＝140(种)．
4．(2019·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种(　A　)
A．144 B．72
C．288 D．154
[解析]　甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排列，有A·A种方法；丙与丁不相邻，采用插空法，有A种方法，根据分步计数原理，共有A·A·A＝144种方法．
5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)
[解析]　解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男：有CC＝4种选法；②1女2男：有CC＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．
解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　排列问题——自主练透
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
(1)选其中5人排成一排；__2_520__
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__576__
(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__
(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2_520__
(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__
[解析]　 (1)从7个人中选5个人来排，是排列，
有A ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．
(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种．
解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A种方法，中间5个位置由余下5人和甲进行全排列，有A种方法，共有A×A＝3 600种．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576种．
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种．
(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A种方法．故共有A·A·A＝720种．
(7)消序法：＝2 520.
(8)间接法：A－2A＋A＝3 720.
位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．
甲在右端的排法有A(种)排法，
甲不在右端的排法有5×5A(种)排法，
∴共有A＋25A＝3 720(种)．
[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__720__种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__960__种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有__960__种．
[解析]　(1)AA＝720；
(2)AAA＝960；
(3)AAA＝960.
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求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
考点二　组合问题——师生共研
例2 (1)(2019·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　B　)
A．85 B．49
C．56 D．28
(2)(2020·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(　D　)
A．15种 B．18种
C．20种 D．22种
[解析]　(1)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C·C＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C·C＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．
(2)先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，
4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；
有3人去A，B外的另一地点，有C＝4(种)情况；
有2人去A，B外的另一地点，有C＝6(种)情况．
综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．
[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有__56__种；②甲、乙都不入选的选法有__56__种．
[解析]　①CC＝56　②C＝56
名师点拨 ☞
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
〔变式训练1〕
(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(　A　)
A．10 B．15
C．20 D．24
(2)(2019·辽宁沈阳东北育才学校模拟)某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有(　C　)
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
[解析]　(1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C＝10种．
(2)若一名学生只选物理和历史中的一门，则有CC＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有C＝4种组合；因此共有12＋4＝16种组合．故选C．
考点三　排列、组合的综合应用——多维探究
角度1　相邻、相间问题
例3 (1)(2020·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．
(2)(2019·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(　A　)
A．16 B．24
C．8 D．12
[解析]　(1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A×A＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A×A＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A×A＋A×A×A＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．
(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．
角度2　特殊元素(位置)问题
例4 (1)(2019·山西大同模拟)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　C　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
(2)(2019·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(　D　)
A．48 B．72
C．90 D．96
[解析]　(1)先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C种方法，再排剩余的瓶子，有A种方法，故不同的放法共CA种，故选C．
(2)由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．
①当甲参加另外3场竞赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；
②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24(种)选择方案．
综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．
[引申]本例(2)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为__78__.
[解析]　①甲、乙都参赛有C(A＋CCA)＝42种方案；②甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不参赛均有AC＝18种方案；∴共有42＋18＋18＝78种参赛方案．
角度3　分组、分配问题
例5 (1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．
①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__
②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__
③平均分成三份，每份2本；__15__
④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；
⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__
⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__
⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__
(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__种．
②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有__55__种．
[解析]　(1)①CCC＝60；②CCCA＝360；
③＝15；④CCC＝90；⑤C＝15；⑥CA＝90；
⑦CCC＝30.
(2)①C＝35；②C＝55.
名师点拨 ☞
解排列组合综合问题的方法
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．
第一步：选元素，即选出符合条件的元素；
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·浙江湖州期末)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是____.
(2)(角度2)(2020·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　B　)
A．36种 B．42种
C．48种 D．60种
(3)(2019·甘肃兰州模拟)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有(　D　)
A．96种 B．100种
C．124种 D．150种
[解析]　(1)由题意，5个不同的小球全排列为A＝120，同一色的有2×A×A×A＝48种，同二色的有A×A×A＝24种情况．故同一颜色的小球不相邻的排列总数有120－48－24＝48种．故相同颜色的球都不相邻的概率是＝.
(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论：
①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A＝24种不同的排法；
②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B．
(3)因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的情况：一种是1,1,3，另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时，共有N1＝·A＝60(种)，当按照1,2,2来分时，共有N2＝·A＝90(种)，根据分类加法计数原理知N＝N1＋N2＝150(种)，选D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
巧解数字排列问题
例6 (2020·浙江绍兴诸暨期末)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有__36__个．
[解析]　特殊位置优先考虑
先考虑末尾，有C种，再考虑首位非零，C，剩下的两个位置有A种，则由分步乘法计数原理，得到共有奇数C·C·A＝36个，故填：36.
[引申1]　本例条件下，大于3 100的奇数有__16__个；偶数有__60__个．
[解析]　千位是3，百位是4的奇数有C＝2个；千位是3，百位是2的奇数有C＝2个；千位是4的奇数有CA＝12个，∴大于3 100的四位奇数有16个．
个位为0的偶数为A＝24个；
个位为2或4的偶数有CCA＝36个．
∴四位偶数有24＋36＝60个．
[引申2]　若将“没有”改成“有”，结果为__164__.
[解析]　所有四位奇数有4×5×5×2＝200个，
∴有重复数字的四位奇数有200－36＝164个．
名师点拨 ☞
本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件：0不能在首位．
〔变式训练3〕
(2020·四川省成都市诊断)用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数，其中大于420 789的正整数个数为(　C　)
A．479 B．480
C．455 D．456
[解析]　根据题意，分3种情况讨论：①首位数字分别为7、8、9时，有3A＝360个；②首位数字为4，万位分别为7、8、9时有3A＝72个；③首位数字为4，万位数字为2时有A－1＝23个，故共有360＋72＋23＝455个符合题意的六位数，故选C．