2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第一讲　函数及其表示


第二章　函数、导数及其应用
第一讲　函数及其表示
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　函数的概念及表示
1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应
名称
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二　分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．

1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列判断不正确的为(　ABC　)
A．函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个
B．已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3
C．y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数
D．f(x)＝
则f(－x)＝
题组二　走进教材
2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为(　B　)

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
3．(必修1P24T4改编)已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于(　D　)
A．lg 2 B．lg 32
C．lg D．lg 2
[解析]　解法一：由题意知x>0，令t＝x5，则t>0，x＝t，
∴f(t)＝lg t＝lg t，即f(x)＝lg x(x>0)，
∴f(2)＝lg 2，故选D．
解法二：令x5＝2，则x＝2，∴f(2)＝lg 2＝lg 2.故选D．
4．(必修1P25BT1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].

题组三　考题再现
5．(2019·江苏，5分)函数y＝的定义域是[－1,7].
[解析]　要使函数有意义，则7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．
6．(2015·陕西，5分)设f(x)＝则f[f(－2)]＝(　C　)
A．－1 B．
C． D．
[解析]　∵f(－2)＝2－2＝，
∴f[f(－2)]＝f()＝1－＝，故选C．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究

考点一　函数的概念及表示
考向1　函数与映射的概念——自主练透
例1 (1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.
③A＝N，B＝Q，f：x→y＝.
④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．
(2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　BC　)

(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？
①f1：y＝；f2：y＝1；f3：y＝x0.
②f1：y＝；f2：y＝()2；f3：y＝
③f1：y＝
f2：
x
x≤1
1 x≥2
y
1
2
3
f3：
[解析]　(1)①是映射，也是函数；
②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；
③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数；
④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．
(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C．
(3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；
②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；
③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
[答案]　(1)①是映射，也是函数
②不是映射，更不是函数
③不是映射，更不是函数
④是映射，但不是函数
(3)不同函数①②；同一函数③

名师点拨 ☞
1．映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．
2．判断两个函数是否相同的方法
(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
考向2　求函数的解析式——师生共研
例2 已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式．
(1)已知f(－1)＝x－2，求f(x)；
(2)函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0.求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
[分析]　(1)利用换元法，即设t＝－1求解；
(2)利用解方程组法，将x换成求解；
(3)已知函数类型，可用待定系数法；
(4)由于变量较多，可用赋值法求解．
[解析]　(1)解法一：设－1＝t(t≥－1)，∴＝t＋1，x＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(t)＝t2＋2t＋1－2(t＋1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．
解法二：由f(－1)＝x－2＝(－1)2－1，∵≥0，∴－1≥－1，∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．
(2)因为2f(x)＋f()＝2x ，①
将x换成，则换成x，
得2f()＋f(x)＝.②
由①②消去f()，得3f(x)＝4x－.
所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
因此应有解得
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.

名师点拨 ☞
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)．此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
〔变式训练1〕
(1)已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝1－x2，x∈[－1,1].
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝x2＋x(x∈R).
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－.
[解析]　(1)(换元法)设cosx＝t，t∈[－1,1]，
∵f(cosx)＝sin2x＝1－cos2x，
∴f(t)＝1－t2，t∈[－1,1]．
即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(3)(转换法)当－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，
所以当－1≤x≤0时，f(x)＝－.
考点二　分段函数及应用——多维探究
角度1　分段函数求值问题
例3 (2020·山西太原期中)已知函数f(x)＝则f(log23)＝(　A　)
A． B．3
C． D．6
[解析]　∵函数f(x)＝
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝()log23＋1＝()log×＝×＝.故选A．
角度2　分段函数与方程的交汇问题
例4 设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a＝1或－.
[解析]　由于f(1)＝e1－1＝1，再根据f(1)＋f(a)＝2得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，解得a＝1；当－1 角度3　分段函数与不等式的交汇问题
例5 (2018·全国Ⅰ，12)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
[解析]　

画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知：
①当x＋1≥0且2x≥0，即x≥0时，f(2x)＝f(x＋1)，不满足题意；
②当x＋1>0且2x<0，即－1 ③当x＋1≤0时，x≤－1，此时2x<0，若f(x＋1)2x，解得x<1.故x≤－1.
综上所述，x的取值范围为(－∞，0)．

名师点拨 ☞
分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·江西抚州质检)已知函数f(x)＝其中m∈R，则f(3＋4m)＝(　A　)
A．2m B．6
C．m D．2m或6
(2)(角度2)(2020·安徽江淮十校联考)f(x)＝且f(a)＝－2，则f(4－a)＝(　C　)
A．－4 B．－2
C．－1 D．0
(3)(角度3)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是(－，＋∞).
[解析]　(1)因为3＋4m>3，所以f(3＋4m)＝log24m＝2m，故选A．
(2)当a≤1时矛盾；当a>1时，令－log2(a＋1)＝－2得a＝3，∴f(4－a)＝f(1)＝－1，故选C．
(3)当x>时，x－>0，f(x)>2＝，f(x－)>20＝1，∴f(x)＋f(x－)>1，在x>时恒成立，
当0 f(x)＋f(x－)＝2x＋(x－)＋1>1，
当x≤0时，x－<0，此时f(x)＋f(x－)＝x＋1＋(x－)＋1＝2x＋，
令f(x)＋f(x－)>1，则有2x＋>1，∴x>－，
当－1恒成立，
综上，当x>－时，f(x)＋f(x－)>1恒成立．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
数学抽象——函数新定义问题中的核心素养
例6 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；
④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sinx－1.
其中是“美丽函数”的序号有②③④.
[解析]　由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f(x)＝2sinx－1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．

名师点拨 ☞
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
〔变式训练3〕
定义a☆b＝设函数f(x)＝ln x☆x，则f(2)＋f()＝(　D　)
A．4ln 2　　　 B．－4ln 2　　　
C．2　　　 D．0
[解析]　2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为×ln <0，所以f()＝＝－2ln 2.则f(2)＋f()＝2ln 2－2ln 2＝0.