2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第六章第四讲　基本不等式

第四讲　基本不等式

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　重要不等式
a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)(当且仅当__a＝b__时等号成立)．
知识点二　基本不等式≤(均值定理)
(1)基本不等式成立的条件：__a>0，b>0__；
(2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时等号成立；
(3)其中叫做正数a，b的__算术平均数__，叫做正数a，b的__几何平均数__．
知识点三　利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当__x＝y__时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)

常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)
(2)ab≤()2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(3)()2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(4)＋≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．
(5)≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题不正确的是(　ABC　)
A．“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件
B．若x>0，则x3＋的最小值为2
C．不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件
D．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
题组二　走进教材
2．(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋(　D　)
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
[解析]　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2．
3．(必修五P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m2．
[解析]　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0 ∴y＝x(10－x)≤[]2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．
题组三　考题再现
4．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是__30__．
[解析]　总费用为4x＋×6＝4(x＋)≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
5．(2019·天津，13)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为　　．
[解析]　＝＝＝2＋．
∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y≥2，解得0 当且仅当x＝2y＝2，即x＝2且y＝1时“＝”成立．
此时≥，∴2＋≥2＋＝，
故的最小值为．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　利用基本不等式求最值——多维探究
角度1　配凑法求最值
例1　(1)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　C　)
A． B．
C．3 D．9
(2)(2020·吉林模拟)已知x>2，若f(x)＝x＋在x＝n处取得最小值，则n＝(　B　)
A． B．3
C． D．4
(3)(2020·重庆南开中学质检)已知实数a，b>1，且满足ab－a－b＝5，则2a＋3b的最小值为__17__．
[解析]　(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤()2＝×()2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3．
(2)由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号，故选B．
(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)
⇒36＝(2a－2)(3b－3)≤()2
则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．
[易错警示]　求最值时忽视两项和或积为定值致错
利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a(a ＋3b)≤()2，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝，b＝0时，a(a＋3b)的最大值为，从而错选B．
[引申]f(x)＝x＋的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__．
[解析]　f(x)＝(x－2)＋＋2，
∵|(x－2)＋|＝|x－2|＋≥2
(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)
∴(x－2)＋≥2或x－2＋≤－2，
∴f(x)≥4或f(x)≤0，
即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
名师点拨 ☞
拼凑法求最值的技巧
(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．
(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．
角度2　换元法求最值
例2　(1)函数y＝的最大值为　　．
(2)(2020·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为(　B　)
A．16 B．32
C．64 D．128
[解析]　(1)令t＝≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝＝．
当t＝0，即x＝1时，y＝0；
当t>0时，即x>1时，y＝，
因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，
即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．
(2)ab－16＝a＋2b≥2，令＝t，
则t2－2t－16≥0⇒t≥＝4，
故ab≥32，即ab最小值为32.(当且仅当a＝8，b＝4时取等号)故选B．
角度3　常数代换法求最值
例3　(1)(2020·天津七校期中联考)已知a>0，b>0，且＋＝1，求a＋b的最小值__3__．
(2)(2020·浙江宁波适应性考试)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则(b＋)的最小值是(　C　)
A． B．5
C．2＋2 D．3＋
[解析]　(1)∵a>0，b>0，且＋＝1，
∴a＋b＝[(a＋1)＋b]－1＝(＋)[(a＋1)＋b]－1
＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＋1＝b，即a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3，
另解：(换元法)由＋＝1得b＝1＋，(a>0)，
∴a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3．
(2)∵a>0，b>0且a＋b＝1，
∴(b＋)＝＋＝＋
＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当a＝，b＝时取等号，
∴(b＋)的最小值为2＋2，故选C．
名师点拨 ☞
常数代换法的技巧
(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．
(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　B　)
A．2 B．
C． D．5
(2)(角度2)(2020·山东师大附中模拟)若正数x，y满足x＋5y＝3xy，则5x＋y的最小值为__12__．
(3)(角度3)(2020·河北唐山一中期中)已知直线ax＋by＝2(a>0，b>0)过(1,1)，求＋＋的最小值(　B　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　(1)∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，
则2(＋)＝[x＋(1＋y)](＋)＝＋＋5≥2＋5＝9，
所以＋≥，
当且仅当，即当时取等号
∴＋的最小值为，故选B．
(2)∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即＋＝3，
∵5x＋y＝(＋)(5x＋y)
＝(26＋＋)
≥(26＋2)＝12，
(当且仅当x＝y＝2时取等号)
∴5x＋y的最小值为12，
另解：∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即x＝，
令3y－1＝t，则y＝，(t>0)，
∴5x＋y＝＋y＝(1＋)＋
＝＋(＋t)≥＋＝12．
(当且仅当t＝5，即x＝y＝2时取等号)
∴5x＋y的最小值为12．
(3)因为直线ax＋by＝2(a>0，b>0)过(1,1)，
所以a＋b＝2，
因此＋＋＝(＋)(a＋b)＋＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以＋＋的最小值为，故选B．
考点二　利用基本不等式求参数的范围——师生共研
例4　若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则
(1)ab的取值范围是__[9，＋∞)__；
(2)a＋b的取值范围是__[6，＋∞)__．
[解析]　(1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．
∴t≥3即≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤()2．
今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
名师点拨 ☞
利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．
另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．
〔变式训练2〕
(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是__4__．
[解析]　解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8．
∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0
∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4．
解法二：∵x>0，y>0，∴2xy≤()2＝2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
又x＋2y＋2xy＝8，
∴x＋2y＋2≥8
∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0
∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4
(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4．
解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8
∴x＝＝－1，
∴x＋2y＝＋(2y＋1)－2≥2－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4．
秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x＝2y＝2时x＋2y取最小值为4．
考点三　利用基本不等式解决实际问题——师生共研
例5　(2020·河南九师联盟联考)2018年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3 000万元，生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)
(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
[解析]　(1)当0 L(x)＝6×100x－10x2－200x－3 000
＝－10x2＋400x－3 000；
当x≥50时，
L(x)＝6×100x－601x－＋9 000－3 000
＝6 000－(x＋)．
∴L(x)＝
(2)当0 ∴当x＝2时，L(x)max＝L(20)＝1 000；
当x≥50时，L(x)＝6 000－(x＋)
≤6 000－2＝6 000－200＝5 800，
当且仅当x＝，即x＝100时，
L(x)max＝L(100)＝5 800>1 000．
∴当x＝100，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5 800万元．
名师点拨 ☞
应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．
特别强调的一点是，当利用基本不等式时，若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求解．
〔变式训练3〕
高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在(　B　)
A．2楼 B．3楼
C．4楼 D．8楼
[解析]　解法一：由题意知，同学们总的不满意度y＝n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．
解法二：代入法，分别n＝2,3,4,8，比较n＋的大小，即选B．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
基本不等式的综合应用
例6　(1)(2020·湖南浏阳一中等湘东七校联考)已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为(　C　)
A． B．3＋2
C．3 D．9
(2)(2020·河南信阳一模)已知正项等比数列{an}满足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在两项am，an，使得＝32，则＋的最小值为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)由题意知f′(x)＝x2＋2ax＋b－4，
且f′(1)＝0，∴2a＋b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝(＋)(2a＋b)＝(＋＋5)≥(2＋5)＝3，
当且仅当a＝b＝1时取等号，
∴＋的最小值为3，故选C．
(2)由等比数列的性质得a＝a2a8＝16a5，
因为a5>0，所以a5＝16，
又因为a3＋a5＝20，所以a3＝4，
所以a1＝1，公比q＝2，
因为＝32，所以＝32＝25，
所以m＋n＝12，
则＋＝(m＋n)(＋)
＝(5＋＋)≥
(当且仅当＝，即m＝4时，取等号)，
则＋的最小值为，故选A．
名师点拨 ☞
基本不等式的综合问题的解法：利用相关知识确定某等量关系，在此条件下用基本不等式求解某些最值问题．
〔变式训练4〕
(1)(2020·江西南康中学月考)已知函数f(x)＝|ln x|，(a>b>0)，f(a)＝f(b)，则的最小值等于(　A　)
A．2 B．
C．2＋ D．2
(2)(2020·广东惠州调研)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　A　)
A．16 B．8
C．4 D．2
[解析]　(1)由题意知ln a＝－ln b⇒ab＝1⇒
＝＝(a－b)＋≥2，
当且仅当，即时取等号．
∴的最小值为2，故选A．
(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，
由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，
又因为λ>0，μ>0，
所以＋＝(＋)×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，
故＋的最小值为16.故选A．
