2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第三讲第二课时　三角函数式的化简与求值

第二课时　三角函数式的化简与求值

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　三角函数式的化简——师生共研

例1　化简下列各式：

(1)；

(2)－；

(3).

[解析]　(1)原式

＝

＝

＝＝－tan (α－β)．

(2)原式＝

＝＝tan 2θ.

(3)原式＝

＝

＝＝＝1.

名师点拨　☞

(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用．

(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确．

(3)对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．

〔变式训练1〕

(1)化简sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)＝__0__.

(2)(2020·开封模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝____.

[解析]　(1)解法一：原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝(cos ＋2cos －sin )sin x＋(sin －2sin －cos )cos x＝(＋1－×)sin x＋(－＋×)cos x＝0.

解法二：原式＝sin (x＋)－cos [π－(x＋)]＋2sin (x－)＝2sin (x＋＋)＋2sin (x－)＝2sin (x＋π)＋2sin (x－)＝2sin [π＋(x－)]＋2sin (x－)＝－2sin (x－)＋2sin (x－)＝0.

(2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)

原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.

解法二：(从“名”入手，化异名为同名)

原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β

＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β

＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β

＝cos2β－cos 2β(sin2α＋cos 2α)

＝－cos 2β＝.

解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)

原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β

＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝＋＝.

解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方

原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－cos 2α·cos 2β

＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β

＝cos2(α＋β)－·cos (2α＋2β)

＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]＝.

考点二　求值问题——多维探究

角度1　给角求值

例2　求下列各式的值．

(1)；

(2).

[解析]　(1)原式＝

＝＝tan 15°＝tan (45°－30°)

＝＝＝＝2－.

(2)＝＝＝－4.

名师点拨　☞

给角求值问题的解题思路

给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：

(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；

(2)观察名，尽可能使函数统一名称；

(3)观察结构，利用公式，整体化简．

角度2　给值求值

例3　(2020·济南调研)已知sin (α＋)－cos α＝，则cos (2α－)＝(　D　)

A．－　　 B．　　

C．－　　 D．

[解析]　由sin (α＋)－cos α＝，

得sin α＋cos α－cos α＝sin (α－)＝，

得cos (2α－)＝1－2sin2(α－)＝1－＝，故选D．

名师点拨　☞

给值求值问题的解题关键

给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等．

角度3　给值求角

例4　已知A，B均为钝角，sin2＋cos (A＋)＝，且sin B＝，则A＋B＝(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题意知(1－cos A)＋cos A－sin A＝－，得sin A＝，sin B＝.

A，B均为钝角，π<A＋B<2π，cos A＝－，cos B＝－，cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝(－)×(－)－×＝>0，

那么，<A＋B<2π，所以A＋B＝，故选C．

名师点拨　☞

(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．

(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．1　　 D．

(2)(角度2)(2020·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈(0，)，且2cos 2α＝cos (－α)，则sin 2α的值为(　C　)

A．　　 B．－　　

C．　　 D．－

(3)(角度3)已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝，故选D．

(2)由题意可得2(cos2α－sin2α)＝cos cos α＋sin sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)．由α∈(0，)，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝，等式两边平方，可得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，故选C．

(3)∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<，

∴cos α＝＝，

cos (α－β)＝＝

∴sin β＝sin [α－(α－β)]

＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)

＝×－×(－)＝，

∴β＝，故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

辅助角公式的应用

在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.

三角函数的结论有：sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，tan (A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin .

A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．　　

例5　(1)设A，B是△ABC的内角，且cos A＝，sin B＝，则sin C＝(　D　)

A．或－　　 B．

C．或－　　 D．

(2)(2020·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)sin (A＋C)，则△ABC的形状一定是(　D　)

A．等边三角形　　 B．不含60°的等腰三角形

C．钝角三角形　　 D．直角三角形

[分析]　(1)由sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B知求sin A、cos B即可．

(2)利用cos (B＋C)＝－cos A，sin (A＋C)＝sin B及两角差的正弦公式求解．

[解析]　(1)∵cos A＝，0<A<π，∴A为锐角，

且sin A＝＝.又sin B＝<sin A，∴B<A，

∴B为锐角且cos B＝＝.

∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.故选D．

(2)∵sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)·sin (A＋C)，

∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，

∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin (A＋B)＝1，

∴sin C＝1，又0<C<π，∴C＝，

∴△ABC为直角三角形，故选D．

[误区警示]　本题(1)极易求得两解，问题出在∠B上，因为由sin B＝，可得两个B值，考虑A的因素，只有一个适合，因此sin C只有一个结果．

名师点拨　☞

利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，知B为锐角．

〔变式训练3〕

(1)在△ABC中，若sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，则C＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(2)(2020·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　A　)

A．等腰三角形　　 B．直角三角形

C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形

[解析]　由已知得

①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±.

当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形的内角，

所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.

当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形的内角，

所以A＝π，B＝π不符题意，舍去．

综上可得C＝，故选D．

(2)由题意知sin (B＋C)＝2sin Bcos C，

整理化简得sin Bcos C－cos Bsin C＝0

即sin (B－C)＝0，又－π<B－C<π，

∴B－C＝0，即B＝C，故选A．