2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1.

(2)商数关系：＝tan x.

知识点二　三角函数的诱导公式

1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x＝tan x·cos x，tan2x＋1＝，(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x等．

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABCD　)

A．若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1

B．若α∈R，则tan α＝恒成立

C．sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角

D．若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝

[解析]　对于A，根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．对于B，cos α≠0时才成立．对于C，根据诱导公式知α为任意角．对于D，当k为奇数和偶数时，sin α的值不同．故选A、B、C、D．

题组二　走进教材

2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝，则＝(　A　)

A．－  B．

C．－7  D．7

[解析]　＝＝＝－.故选A．

3．(必修4P22B组T2改编)化简cos α＋sin α(π<α<)得(　A　)

A．sin α＋cos α－2  B．2－sin α－cos α

C．sin α－cos α  D．cos α－sin α

[解析]　原式＝cos α＋sin α，

∵π<α<π，∴cos α<0，sin α<0.

∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.

4．(必修4P29B组T2改编)若sin (π＋α)＝－，则sin (7π－α)＝，cos (α＋)＝.

[解析]　由sin (π＋α)＝－，得sin α＝，

则sin (7π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝，

cos (α＋)＝cos (α＋－2π)＝cos (α－)

＝cos (－α)＝sin α＝.

题组三　考题再现

5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　D　)

A．－2－　　　　　　 B．－2＋

C．2－  D．2＋

[解析]　由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝2＋，故选D．

6．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　D　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　因为sin α＝－，且α为第四象限角，

所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D．

7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　A　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－，故选A．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　同角三角函数的基本关系式——师生共研

例1 (1)(2020·厦门质检)若α∈(，π)，sin (π－α)＝，则tan α＝(　C　)

A．－　  B．

C．－  D．

(2)(2020·河南平顶山、许昌两市联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　A　)

A．  B．－

C．－3  D．3

[解析]　(1)因为α∈(，π)，sin α＝，

所以cos α＝－，所以tan α＝－.

(2)由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A．

名师点拨 ☞

(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．

(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：

＝；sin αcos α＝

＝＝；

sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝

＝.

〔变式训练1〕

(1)若α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝(　C　)

A．  B．－

C．  D．－

(2)已知α是第二象限角，化简＝.

(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tan α＝2，则cos(α－)＝.

[解析]　(1)∵tan α＝－，∴＝－.

∵sin2α＋cos2α＝1，

∴sin2α＋(－sin α)2＝1，∴sin α＝±.

又α为第二象限角，∴sin α＝，故选C．

(2)解法一：原式＝

＝

＝

＝＝.

解法二：∵1－cos4α－sin4α＝1－(cos2α＋sin2α)2＋2sin2αcos2α＝2sin2αcos2α，

∴原式＝

＝

＝＝.

(3)由tan α＝2得sin α＝2cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.

因为α∈(0，)，所以cos α＝，sin α＝.

因为cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ，

所以cos (α－)＝×＋×＝.

考点二　诱导公式及其应用——多维探究

角度1　利用诱导公式化简三角函数式

例2 (1)化简：

＝－.

(2)化简＝－1.

[解析]　(1)原式＝

＝＝－.

(2)∵cos 10°>sin 10°，∴原式＝＝＝＝＝－1.

角度2　“换元法”的应用

例3 已知cos (－θ)＝a，则cos (＋θ)＋sin (－θ)的值是0.

[解析]　因为cos (＋θ)＝cos [π－(－θ)]＝－cos (－θ)＝－a.sin (－θ)＝sin [＋(－θ)]＝cos (－θ)＝a，所以cos (＋θ)＋sin (－θ)＝0.

名师点拨 ☞

(1)诱导公式的两个应用方向与原则：

①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，互补关系有＋α与－α；＋α与－α等．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)已知f(α)＝，则f()＝(　A　)

A．  B．

C．  D．－

(2)(角度2)(2020·唐山模拟)已知α为钝角，sin (＋α)＝，则sin (－α)＝－，cos (α－)＝.

(3)(角度2)(2020·安徽模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°，cos 215°)，则α＝(　C　)

A．215°  B．225°

C．235°  D．245°

[解析]　(1)f(α)＝

＝＝＝cos α，

则f()＝cos ＝.

(2)sin (－α)＝cos [－(－α)]＝cos (＋α)，

因为α为钝角，

所以π<＋α<π，

所以cos (＋α)<0.

所以cos (＋α)＝－＝－.

cos (α－)＝sin [＋(α－)]

＝sin (＋α)＝.

(3)∵角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°，cos 215°)，∴cos α＝sin 215°＝cos 235°，sin α＝cos 215°＝sin 235°，∴α＝235°，故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系

例4 (2020·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝－.

[解析]　解法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

sin θcos θ＝－.

由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.

因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.

所以sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.

解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－，

所以＝－，弦化切，得 ＝－，解得tan θ＝－或tan θ＝－.

又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.

∴θ∈(，π)，且sin θ>|cos θ|，

∴||＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－.

解法三：解方程组

得或(舍去)

故tan θ＝－.

名师点拨 ☞

sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x，(sin x＋cos x)2＋(sin x－cos x)2＝2.

因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．

〔变式训练3〕

(1)(2020·山东师大附中模拟)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　C　)

A．  B．

C．  D．

(2)若＋＝，则sin αcos α＝(　A　)

A．－  B．

C．－或1  D．或－1

[解析]　(1)解法一：∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin αcos α＝－，

又α∈(－，0)，∴sin α<0，cos α>0，

∴cos α－sin α＝＝＝.

∴＝＝，故选C．

解法二：由解法一知得

∴tan α＝＝－.

∴＝＝

＝＝，故选C．

(2)由＋＝，可得sin α＋cos α＝sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1.

由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A．