2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


第三章　三角函数、解三角形
第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.
知识点二　弧度制及弧长、扇形面积公式
(1)1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
(3)角度与弧度的换算
①1°＝rad；②1rad＝()°.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.
知识点三　任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.


1．终边相同的角与对称性拓展
(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
2．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABCD　)
A．小于90°的角是锐角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°
C．角a＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角
D．若sin α＝sin ，则α＝
[解析]　根据任意角的概念知ABCD均是错误的．
题组二　走进教材
2．(必修4P10AT8改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
[解析]　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．
3．(必修4P15T6改编)若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是(　C　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故θ是第三象限角．
4．(必修4P10BT1改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为6π.
[解析]　设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
题组三　考题再现
5．(2019·浙江，14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．则sin(α＋π)的值为.
[解析]　由角α的终边过点P(－，－)得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
6. (2018·北京，5分)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α
A． B．
C． D．
[解析]　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是，故选C．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　角的基本概念——自主练透
例1 (1)已知α1＝－350°，α2＝860°，β＝.
将α1用弧度制表示为－，它是第一象限角；
将α2用弧度制表示为，它是第二象限角．
将β用角度制表示为750°，在－720°～0°之间与它终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角是30°.
(2)如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　C　)

A．{α|－45°≤α<120°}
B．{α|120°<α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°<α≤315°＋k·360°，k∈Z}
(3)(多选题)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限(　AC　)
A．一 B．二
C．三 D．四
[分析]　(1)关于角度制与弧度制的互化主要是利用公式1°＝rad,1rad＝()°求解．
(2)注意角的旋转方向和实虚线．
(3)根据象限角及不等式的性质求解.
[解析]　(1)α1＝－350°＝－π＝－＝－2π＋，
α2＝860°＝π＝π＝4π＋π.
∴α1在第一象限，α2在第二象限．
又β＝π＝(π×)°＝750°，
∵750°＝720°＋30°，∴与750°终边相同的角为k·360°＋30°(k∈Z)．
当k＝－1时，β1＝－330°，
当k＝－2时，β2＝－690°，
∴在[－720°，0°]内与750°终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角为30°.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}，故选C．
(3)由角α的终边在第二象限，
所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，
所以＋·2π<<＋·2π，k∈Z，
当k＝2m，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，
所以终边在第一象限；
当k＝2m＋1，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，
所以终边在第三象限，综上，的终边在第一或三象限．故选A、C．
[引申](1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？
[答案]　的终边在第二或第四象限．
(2)在本例题(3)中，条件不变，的终边所在的位置是
在第一、二或四象限.
(3)在本例(3)中，条件不变，则π－α是第一象限角，2α终边的位置是第三或第四象限或y轴负半轴上.

名师点拨 ☞
1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍．
2．终边相同角的表达式的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角．
3．确定(k∈N*)的终边位置的方法
(1)讨论法：
①用终边相同角的形式表示出角α的范围．
②写出的范围．
③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．
①等分：将每个象限分成k等份．

②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．
③选答：出现数字m的区域，即为所在的象限．
如判断象限问题可采用等分象限法．
考点二　扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
例2 (1)(2020·广东珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　A　)
A．2 B．1
C． D．3

(2)(2020·山东潍坊期中)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　C　)
A．16 m2 B．18 m2
C．20 m2 D．25 m2
[解析]　(1)设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．

(2)如图，由题意，得∠AOB＝，OA＝6.在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD＝AO·sin ＝6×＝3，可得弦AB＝2AD＝2×3＝6，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(6×3＋32)＝9＋4.5≈20(m2)，故选C．

名师点拨 ☞
弧长和扇形面积的计算方法
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积．
〔变式训练1〕
(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　C　)
A．2 B．sin 2
C． D．2sin 1
(2)(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于(　B　)
A．5 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)∵2Rsin 1＝2，∴R＝，∴l＝|α|R＝.故选C．
(2)设扇形所在圆的半径为R.扇形弧长为l，因为扇形的周长与面积的数值相等，所以lR＝2R＋l，所以lR＝4R＋2l，所以l＝，因为l>0，所以R>2.故选B．
考点三　三角函数的定义——多维探究
角度1　定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－，则点A的横坐标为(　A　)
A．－ B．
C．－3 D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为－.
[分析]　利用三角函数的定义求解．
[解析]　(1)设点A的横坐标为x，则由题意知＝－，解得x＝或－，又x<0，∴x＝－，故选A．
(2)由题意知r＝，所以sinθ＝＝m，因为m≠0，所以m＝±，所以r＝＝2，所以cosθ＝＝－.
角度2　三角函数值符号的应用
例4 (1)若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　C　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(多选题)下列各选项中正确的是(　BD　)
A．sin300°>0 B．cos(－305°)>0
C．tan(－π)>0 D．sin10<0
[解析]　(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C．
(2)300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan(－)<0，因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin10<0.故选B、D．

名师点拨 ☞
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|＝r，然后利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sinθ＝(　C　)
A． B．
C．± D．±
(2)(角度1)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且cosα＝－，则x＝－，＋＝－.
(3)(角度2)若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限为(　D　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　(1)当x>0时，在y＝2x上任取一点P(1,2)，r＝，sinθ＝＝，
当x<0时，在y＝2x上任取一点P(－1，－2)，r＝，sinθ＝＝－，故选C．
(2)cosα＝＝－，解得x＝－，
sinα＝＝－，tanα＝＝.
∴＋＝－.
(3)∵sin2θ＝2sinθcosθ<0且cosθ>0，∴sinθ<0，由sinθ<0知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上，由cosθ>0知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上．故θ为第四象限角，故选D．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
利用三角函数线解三角不等式
例5 (1)不等式sinx≥的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}.
(2)不等式cosx≥－的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}.
(3)函数f(x)＝＋lg(2cosx－)的定义域为
{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}.
[分析]　(3)依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．
[解析]　(1)过点(0，)作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1(，)，P2(－，)，

则以OP1、OP2为终边的角分别为＋2kπ、＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，∴sinx≥的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

(2)过点(－，0)作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1(－，)，Q2(－，－)，
则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋、2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－.
∴cosx≥－的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(3)由得
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，
∴函数f(x)的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．


名师点拨 ☞
(1)利用单位圆解三角不等式的步骤为：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．
(2)
由图可知sinα>cosα的解集{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}，sinα |sinα|>|cosα|的解集集{α|kπ＋<α 〔变式训练3〕
(1)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为(kπ－，kπ＋)(k∈Z).
(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是(　C　)
A．sinα C．sinα [解析]　(1)∵3－4sin2x>0，
∴sin2x<.∴－ 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，


∴x∈(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
(2)如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sinα