2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第十章第一讲　随机抽样


第十章　统计、统计案例
第一讲　随机抽样
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　总体、个体、样本、样本容量的概念
统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体，构成总体的每个元素作为个体，从总体中抽取的__一部分个体__所组成的集合叫做样本，样本中个体的__数目__叫做样本容量．
知识点二　简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个__不放回__地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的__机会都相等__，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样的方法有两种：__抽签法__和__随机数表法__.
知识点三　系统抽样
当总体中的个体比较多且均衡时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后__按照预先定出的规则__，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体__编号__；
(2)确定__分段间隔k__，对编号进行__分段__.当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用__简单随机抽样__确定第一个个体编号l(k≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号__(l＋k)__，再加k得到第3个个体编号__(l＋2k)__，依次进行下去，直到获取整个样本．
知识点四　分层抽样
一般地，在抽样时将总体分成互不交叉的层，然后按照__一定的比例__，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样的应用范围：当总体是由__差异明显的几个部分__组成时，往往选用分层抽样的方法．
重要结论
1．不论哪种抽样方法， 总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段时间隔k的整数倍．
3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论中正确的是(　AB　)
A．简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取样本
B．系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样
C．要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平
D．抽签法中，先抽的人抽中的可能性大
题组二　走进教材
2．(P100A组T2)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　B　)
A．33,34,33 B．25,56,19
C．30,40,30 D．30,50,20
[解析]　因为12528095＝255619，所以抽取人数分别为25,56,19.
3．(P59T2)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(　D　)
A．10 B．11
C．12 D．16
[解析]　从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D．
题组三　考题再现
4．(2018·课标全国Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是__分层抽样__.
[解析]　因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样．
5．(2019·课标全国Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　C　)
A．8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生
[解析]　将1 000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．故选C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　简单随机抽样——自主练透
例1 (1)(2019·陕西模拟)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(　A　)
A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B．这次抽样一定没有采用系统抽样
C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
(2)(2019·山西大同)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　A　)
A．， B．，
C．， D．，
(3)(2020·山西大学附中诊断)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42；84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04；32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号(　D　)
A．522 B．324
C．535 D．578
[解析]　(1)利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A．
(2)在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.故选A．
(3)从第6行第6列开始向右依次读取3个数，依次得到的样本为436,535,577,348,522,578，故选D．
名师点拨 ☞
(1)简单随机抽样满足：①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③不放回抽取；④等可能抽取．
(2)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况．
考点二　系统抽样——师生共研
例2 (1)(2019·甘肃张掖诊断)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为__6__.
(2)(2019·湖北模拟)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，分组后，在第一组采用简单随机抽样抽得的号码为003.这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为(　A　)
A．14 B．15
C．16 D．21
[解析]　(1)系统抽样的抽取间隔为＝6，则48－6×7＝6，则抽到的最小学号为6，故答案为6。
(2)由题意可知，将500名学生平均分成50组，每组10人，第k(k∈N*)组抽到的号码为10(k－1)＋3.令356≤10(k－1)＋3≤500(k∈N*)，解得37≤k≤50，则满足37≤k≤50的正整数k有14个，故第三考点被抽中的学生人数为14人．故选A．
名师点拨 ☞
系统抽样的特点
(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．
(2)各个个体被抽到的机会均等．
(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝.如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
〔变式训练1〕
(2020·安徽黄山质检)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为(　A　)
A．27 B．26
C．25 D．24
[解析]　根据系统抽样的规则——“等距离”时抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A．
考点三　分层抽样——多维探究
角度1　求某层入样的个体数
例3 (1)(2019·广西南宁、玉林、贵港等市联考)某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为5：4.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为__60__.
(2)(2019·宁波一模)调查某高中1 000名学生的身高情况得下表，已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏矮男生的概率为0.12，若用分层抽样的方法，从这些学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽取__11__名.

偏矮
正常
偏高
女生/人
100
273
y
男生/人
x
287
z
[解析]　(1)学校共有教师300人，其中中级教师有120人，
∴高级教师与初级教师的人数为300－120＝180人，
∵抽取的样本中有中级教师72人，
∴设样本人数为n，则＝，解得n＝180，
则抽取的高级教师与初级教师的人数为180－72＝108，
∵高级教师与初级教师的人数比为54，
∴该样本中的高级教师人数为×108＝60.
故答案为60.
(2)由题意可知x＝1 000×0.12＝120，所以y＋z＝220.
所以偏高学生占学生总数的比例为＝，所以抽50名应抽偏高学生50×＝11(人)．
角度2　求总体或样本容量
例4 (1)(2020·湖南模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　D　)
A．9 B．10
C．12 D．13
(2)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为__808__.
[解析]　(1)由分层抽样可得，＝，解得n＝13.故选D．
(2)由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.故填808.
名师点拨 ☞
进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层所抽取的个体数之比__.
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·广东广州模拟)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为234，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝(　B　)
A．96 B．72
C．48 D．36
(2)(角度2)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为(　C　)
A．2 400 B．2 700
C．3 000 D．3 600
[解析]　(1)由题意得n－n＝－8，∴n＝72，故选B．
(2)设全校学生人数为n，
由题意可知＝，
解得n＝3 000，故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
分层抽样与概率相结合
例5 (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解析]　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种，
所以，事件M发生的概率P(M)＝.
名师点拨 ☞
分层抽样与概率相结合的题目是高考的热点，解题时先根据分层抽样确定人数，再利用古典概型求解相应的概率．
〔变式训练3〕
某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”“街舞”“动漫”“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：
社团
相关人数
抽取人数
模拟法庭
24
a
街舞
30
5
动漫
b
4
话剧
12
c
(1)求a，b，c的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．
[解析]　(1)由表可知抽取比例为＝，故a＝4，b＝24，c＝2.
(2)设“动漫”社团的4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”社团的2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个．
其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．
所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝.
(或这2人分别来自这两个社团的概率P＝＝)