2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第六章第三讲　简单的线性规划


第三讲　简单的线性规划

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　二元一次不等式表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__>0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C __<0__．
(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成__实线__．
知识点二　二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含__等号__，则应把直线画成虚线；若不等式含有__等号__，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点，
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__．
知识点三　线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的__不等式(组)__
线性约束条件
由x，y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的__一次__解析式
可行解
满足约束条件的解__(x，y)__
可行域
所有可行解组成的__集合__
最优解
使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题


1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论
把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y (1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．
(2)若y 2．最优解与可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定存在，存在时不一定唯一．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是(　BC　)
A．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方
B．点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0
C．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解
D．目标函数z＝ax＋by(a≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距
题组二　走进教材
2．(必修五P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　C　)

[解析]　x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．
故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．
3．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　C　)
A．3，－3 B．2，－4
C．4，－2 D．4，－4
[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示．

A(2，－1)，B(－1，－1)，
显然当直线l：z＝2x＋y＋1经过A时z取得最大值，且zmax＝4，
当直线l过点B时，z取得最小值，且zmin＝－2，故选C．
题组三　考题再现
4．(2018·浙江，12)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是__－2__，最大值是__8__．
[解析]　本小题考查简单的线性规划．由约束条件得可行域是以A(1,1)，B(2,2)，C(4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．

当直线y＝－x＋过点C(4，－2)时，z＝x＋3y取得最小值－2，过点B(2,2)时，z＝x＋3y取得最大值8．
5．(2019·北京)若x，y满足则y－x的最小值为__－3__，最大值为__1__．
[解析]　由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC及其内部．易知A(－1，－1)，B(2，－1)，C(2,3)．
设z＝y－x，平移直线y－x＝0，当直线过点C时，zmax＝3－2＝1，
当直线过点B时，zmin＝－1－2＝－3．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域——自主练透
例1　(1)(2020·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的(　C　)

(2)(2020·四川江油中学月考)已知实数x，y满足线性约束条件则其表示的平面区域的面积为(　D　)
A． B．
C．9 D．
(3)(2020·河南郑州重点高中期中联考)若直线l：y＝kx－2k＋1将不等式组，表示平面区域的面积分为1∶2两部分，则实数k的值为(　A　)
A．1或 B．或
C．或 D．或
[解析]　(1)|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|<1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0,3)，B(0，－)，C(3,0)，

∴S＝|AB|·|OC|＝××3＝，故选D．
(3)不等式组表示的平面区域如图所示：

∵直线l：y＝kx－2k＋1恒过A(2,1)，
可得：当直线l：y＝kx－2k＋1过BC的三等分点
E(，)或D(，)时，
故kAE＝＝，kAD＝＝1，故选A．
名师点拨 ☞
(1)画平面区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程表示的直线．
②定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．
③求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．
(2)计算平面区域的面积时，通常是先画出不等式组所对应的平面区域，然后观察区域的形状，求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．
(3)判断不等式表示的平面区域和一般采用“代点验证法”．
考点二　简单的线性规划问题——多维探究
角度1　求线性目标函数的最值
例2　(2018·课标全国Ⅰ，13)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为__6__．
[解析]　本题主要考查线性规划．由x，y满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．

由图知当直线3x＋2y－z＝0经过点A(2,0)时，z取得最大值，zmax＝2×3＝6．
[引申1]本例条件下z＝3x＋2y的最小值为__－18__．
[解析]　由例2得，∴B(－4，－3)，当直线y＝－x＋z，过点B时，z最小，即zmin＝－18．
[引申2]本例条件下，z＝3x－2y的范围为__[－6,6]__．
[解析]　z＝3x－2y变形为y＝x－z，由本例可行域知直线y＝x－z，过A点时截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6．
过B点时截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6，∴z＝3x－2y的范围为[－6,6]．
[引申3]本例条件下，z＝|3x－2y＋1|的最大值为__7__，此时的最优解为__(2,0)__．
[解析]　由引申2得－6≤3x－2y≤6，∴－5≤3x－2y＋1≤7，∴0≤z≤7，
z最大值为7，此时最优解为(2,0)．
名师点拨 ☞
利用线性规划求目标函数最值的方法：
方法1：①作图——画出线性约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(注意表示目标函数的直线l的斜率与可行域边界所在直线的斜率的大小关系)．②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
方法2：解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
角度2　由目标函数的最值求参数
例3　(1)(2020·东北三省三校模拟)已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y(a>0)最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a的取值是(　C　)
A． B．
C． D．1
(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　C　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析]　(1)线性约束条件可化为作可行域如图所示．

目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，因为y＝－ax＋z表示斜率为－a的直线，且－a<0，
由图象可知当y＝－ax＋z经过点C时，z取到最大值，这时点C坐标满足解得C点坐标为(4,3)，代入z＝ax＋y得到a＝.故选C．

(2)解法一：当m≤0时，可行域(示意图m<－1)如图中阴影部分所示，
z＝2x－y⇔y＝2x－z，显然直线的纵截距不存在最小值，从而z不存在最大值，不合题意，
当m>0时，可行域(示意图)如图中阴影部分所示．

若m≥2，则当直线z＝2x－y过原点时，z最大，此时z＝0，不合题意(故选C．)
若0 即A(，)．
∴－＝2，解得m＝1.故选C．
解法二：画出约束条件
的可行域，
如图，作直线2x－y＝2，与直线x－2y＋2＝0交于可行域内一点A(2,2)，由题知直线mx－y＝0必过点A(2,2)，即2m－2＝0，得m＝1.故选C．

[引申]在本例(1)的条件下，若z＝ax＋y的最大值为4a＋3，则a的取值范围是　[－，∞)　．
名师点拨 ☞
求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．
也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值．
角度3　线性规划中无穷多个最优解问题
例4　(多选题)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　AD　)
A．－1 B．
C．1 D．2
[分析]　利用目标函数取得最大值的最优解有无数个，即目标函数对应的直线与可行域的边界重合．
[解析]　作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝时，不成立．故选A、D．

[引申]若z＝y－ax取得最小值的最优解不唯一，则实数a的值为　　．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅱ，14)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为__9__．
(2)(角度2)(2020·福建莆田模拟)若实数x，y满足约束条件，且目标函数z＝x－y的最大值为2，则实数m＝__2__．
(3)(角度3)已知实数x，y满足，若使得ax－y取得最小值的可行解有无数个，则实数a的值为　1或－　．
[解析]　(1)本题考查简单的线性规划．由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分)，

由图可知，当直线x＋y－z＝0经过点A(5,4)时，z＝x＋y取得最大值，最大值为9．
(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)，

∵目标函数z＝x－y的最大值为2，
由图象知z＝x－y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2，
由，解得A(2,0)，
∴2－m＝0，则m＝2，故答案为2．
(3)作出可行域如图中阴影部分所示，记z＝ax－y⇒y＝ax－z.当直线y＝ax－z纵截距最大时，z最小，此时a＝1或－．

考点三　线性规划的实际应用——师生共研
例5　(2020·宁夏银川一中月考)某汽车公司的A，B两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车，B厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车，现要装配40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，则这两个装配厂的工作时数分别为(　A　)
A．16,8 B．15,9
C．17,7 D．14,10
[分析]　根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果．
[解析]　设A厂工作x小时，B厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数为z＝x＋y，

约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线y＝－x＋z经过Q点时，z取得最小值，由可得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．选A．
名师点拨 ☞
利用线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系．
(2)设元：设问题中要求其最值的量为z，起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出约束条件，写出目标函数．
(3)作图：准确作出可行域，确定最优解．
(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．
(5)检验：根据结果，检验反馈．
〔变式训练2〕
(2020·四川广安、眉山、遂宁、内江诊断)某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为__3_800__元．
[解析]　设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，
则，即，

目标函数为z＝300x＋400y．
有可行域，易知当x＝10，y＝2时，
z＝300x＋400y有最小值3 800元．故答案为：3 800．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
非线性目标函数的最值问题
例6　(1)(2016·江苏高考)已知实数x，y满足
则x2＋y2的取值范围是　[，13]　．
(2)(2020·河南中原名校质量考评)若方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则的取值范围是(　D　)
A．[，1] B．[1，]
C．(1，) D．(，1)
[分析]　(1)本题中x2＋y2的几何意义是点(x，y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方；
(2)表示点(a，b)与(2,3)连线的斜率k，根据题意列出a、b应满足的约束条件，在此约束条件下求k的取值范围即可．
[解析]　(1)不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是[，13]．

(2)记f(x)＝x2＋ax＋2b，
则由题意知即
作出可行域如图中阴影部分所示．

由得
∴C(－3,1)，显然A(－1,0)，B(－2,0)
表示点(a，b)与点(2,3)连线的斜率，
由图可知当(a，b)取(－1,0)时，＝1；
当(a，b)取(－3,1)时，＝，
∴的取值范围是(，1)，故选D．
[引申]在本例(1)条件下：①x2＋(y＋1)2的最小值为__2__；
②的取值范围是　[，3]　；
③的取值范围是　[，]　．
[解析]　①由图可知当(x，y)取点(1,0)时，x2＋(y＋1)2取最小值2；

②表示点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率．
由图可知当(x，y)取点(1,0)时，取最小值，当(x，y)取点(0,2)时，取最大值3，∴的取值范围是[，3]．
③＝1＋2·，表示(x，y)与点(－3,1)连线的斜率，解得∴B(2,3)．由图可知(x，y)取(1,0)时，取最小值－，(x，y)取点(2,3)时，取最大值．
∴的取值范围是[，]．
名师点拨 ☞
非线性目标函数最值的求解
(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点(－，－)连线的斜率的倍的取值范围、最值等．
(3)对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先求z1＝Ax＋By的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围，也可变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值，或先求z1＝Ax＋Bx＋C的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围．
〔变式训练3〕
(1)(2020·百校联盟尖子生联考)已知x，y满足不等式组则(x－2)2＋(y－1)2的取值范围为　[，10]　．
(2)(2020·河南省八市重点高中联考)若x，y满足2y≤x≤y－1，则的取值范围是(　B　)
A．(－∞，)∪[，＋∞) B．(，]
C．(－∞，]∪[，＋∞) D．[，]
[解析]　(1)可行域如图阴影部分，
M＝的几何意义是点(2,1)与可行域中点的距离，最小值为点(2,1)到x＋y－2＝0的距离＝，最大值为点(2,1)与点(－1,0)的距离，所求M2的取值范围是[，10]．

(2)由x，y满足2y≤x≤y－1，作可行域如图，

联立，解得A(－2，－1)．
∵的几何意义为可行域内的动点与Q(0,2)，
连线的斜率，∴动点位于A时，
()max＝，
直线2y＝x的斜率为：，
则的取值范围(，]．故选：B．