2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第三讲第一课时　三角函数公式的基本应用


第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式
第一课时　三角函数公式的基本应用

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识点二　二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝__2sin αcos α__；
(2)cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
(3)tan 2α＝____(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
知识点三　半角公式(不要求记忆)
(1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±＝＝.

1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．公式变形：tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)．
＝tan (－α)；＝tan (＋α)
cos α＝，sin 2α＝，cos 2α＝，1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asin α＋bcos α＝sin (α＋φ)，
其中cos φ＝____，sin φ＝____.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题不正确的是(　CD　)
A．存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立
B．在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定
C．y＝3sin x＋4cos x的最大值是7
D．公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立
[解析]　根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知C、D是错误的，A、B是正确的．
题组二　走进教材
2．(必修4P131T5改编)计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结果等于(　A　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　原式＝sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin (43°－13°)＝sin 30°＝.故选A．
另解：原式＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos (47°＋13°)＝cos 60°＝.故选A．
3．(必修4P135T5改编)cos2－sin2＝(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．－
[解析]　cos2－sin2＝cos ＝.
4．(必修4P146A组T4改编)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值为(　D　)
A．－1　　 B．0　　
C．1　　 D．2
[解析]　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.故选D．
题组三　考题再现
5．(2018·课标Ⅲ，4)若sin α＝，则cos 2α＝(　B　)
A．　　 B．　　
C．－　　 D．－
[解析]　本题考查三角恒等变换．因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝1－＝.故选B．
6．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈(0，)，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B．
7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin (2x＋)－3cos x的最小值为__－4__.
[解析]　f(x)＝sin (2x＋)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－2(cos x＋)2＋，因为cos x∈[－1,1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　三角函数公式的直接应用
——自主练透
例1　(1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin (α＋)＝　(　C　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
(2)已知sin α＝，a∈(，π)，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　A　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．－
(3)(2020·届甘肃兰州一中高三上期中)若cos(－α)＝，则sin 2α＝(　D　)
A．　　 B．　　
C．－　　 D．－
(4)(2020·吉林百校联盟9月联考)已知tan B＝2tan A，且cos Asin B＝，则cos ＝(　D　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
[解析]　(1)因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝(－)×＋(－)×＝－.
(2)cos α＝－，tan α＝－，tan β＝－，tan (α－β)＝＝－.
(3)由三角函数的诱导公式得cos ＝sin 2α，所以sin 2α＝cos (－2α)＝cos ，由二倍角公式可得sin 2α＝cos ＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－＝－.故选D．
(4)由tan B＝2tan A，可得cos Asin B＝2sin Acos B.
又cos Asin B＝，∴sin Acos B＝，
则cos (A－B－)＝－sin (A－B)＝－sin Acos B＋cos Asin B＝.故选D．
名师点拨　☞
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
考点二　三角函数公式的逆用与变形用——多维探究
角度1　公式的逆用
例2　(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝____.
(2)cos cos cos cos ＝____.
(3)(2020·四省八校双教研联盟联考)f(x)＝·(1＋tan x)的最小正周期为__T＝2π__.
[解析]　(1)tan (A＋B)＝＝＝－1，
∴tan C＝1，又C∈(0，π)，∴C＝，∴cos C＝.
(2)解法一：cos cos cos cos
＝cos cos cos
＝·
＝·
＝·
＝·＝·＝·＝.
解法二：由sin 2α＝2sin αcos α，得cos α＝，
∴原式＝···＝.
(3)f(x)＝·(1＋tan x)＝×(1＋×)
＝×＝2(cos x＋sin x)＝4sin (x＋)，
则最小正周期T＝2π.
角度2　公式的变形应用
例3　(1)(2020·天津耀华中学模拟)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则 ()2＝(　B　)
A．5　　 B．4　　
C．3　　 D．2
(2)(2020·陕西吴起高级中学模拟)已知sin 2α＝，则cos2(α＋)＝(　A　)
A．　　 B．－　　
C．　　 D．
[解析]　(1)∵sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，
∴＝5，∴()2＝52＝4，故选B．
(2)∵sin 2α＝，∴cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A．
名师点拨　☞
(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)熟记三角函数公式的2类变式
①和差角公式变形：
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β.
tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan α·tan β)．
②倍角公式变形：
降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin α＝(sin ±cos )2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
〔变式训练1〕
(1)(多选题)(角度1)(2020·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为的是(　ABC　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
(2)(角度2)(2018·课标Ⅱ，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝__－__.
[解析]　(1)对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.
对于B,2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.
对于C，＝＝tan 60°＝.
对于D，＝×＝×tan ＝.
综上，式子的运算结果为的是ABC．故选A、B、C．
(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式．
由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，整理得sin (α＋β)＝－.
利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握．
考点三　角的变换与名的变换——师生共研
例4　(1)(2018·课标全国Ⅱ，15)已知tan (α－)＝，则tan α＝____.
(2)已知α、β∈(0，)，且cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝____.
(3)(2018·课标全国Ⅱ，15)设α为锐角，若cos (α＋)＝－，则sin (2α＋)的值为(　B　)
A．　　 B．
C．－　　 D．
[解析]　(1)本题主要考查两角差的正切公式．
解法一：tan α＝tan [(α－)＋]
＝＝.
解法二：tan (α－)＝＝＝，
解得tan α＝.
(2)因为已知α∈(0，)，β∈(0，)，
且cos α＝，cos (α＋β)＝－，
所以sin α＝＝，
sin (α＋β)＝＝，
则sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－(－)×＝.
(3)∵α为锐角，∴0<α<，<α＋<，设β＝α＋，由cos (α＋)＝－，
得sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，cos 2β＝2cos2β－1＝－，
∴sin (2α＋)＝sin (2α＋－)＝sin (2β－)＝sin 2βcos －cos 2βsin
＝(－)×－(－)×＝.故选B．
名师点拨　☞
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(＋α)＋(－α)＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练2〕
(1)已知tan(α＋)＝，则cos2(－α)＝(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)(2020·山西康杰中学月考)若＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝____.
[解析]　(1)由tan(α＋)＝＝，
解得tan α＝－，
所以cos2(－α)＝＝＝＋sin αcos α，
又sin αcos α＝＝＝－，
故＋sin αcos α＝.
(2)∵＝＝3，∴tan α＝2.
∵tan (α－β)＝2，
∴tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝－tan [(α－β)＋α]＝－＝.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
辅助角公式的应用
应用1　求值
例5　(2020·届安徽江淮十校联考)已知cos (x－)＝－，则cos x＋cos(x－)＝(　C　)
A．－　　 B．±　　
C．－1　　 D．±1
[解析]　∵cos (x－)＝－，∴cos x＋cos (x－)＝cos x＋cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝cos (x－)＝×(－)＝－1.
应用2　求最值
例6　(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为____.
(2)函数f(x)＝2sin x·cos x－2sin2x的值域为[－3,1].
[分析]　(1)直接利用辅助角公式化为Asin (ωx＋φ)；
(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为Asin (ωx＋φ)．
[解析]　(1)f(x)＝(cos x·＋sin x·)＝sin (x＋φ)　
(其中cos φ＝，sin φ＝)，显然f(x)的最大值为.
(2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－1
＝2(sin 2x＋cos 2x)－1
＝2sin (2x＋)－1.
显然f(x)max＝1，f(x)min＝－3.
故f(x)的值域为[－3,1]．
应用3　求单调区间
例7　函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x(x∈[0，π])的单调递减区间为(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋)＋.由2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，可得单调递减区间为，故选B．
名师点拨　☞
用辅助角公式变形三角函数式时：
(1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；
(2)遇高次时，要先降幂；
(3)熟记以下常用结论：
①sin α±cos α＝sin (α±)；
②sin α±cos α＝2sin (α±)；
③sin α±cos α＝2sin (α±)．
〔变式训练3〕
(1)(2020·湖南浏阳一中期中)已知sin (＋α)＋cos α＝－，则cos (－α)＝(　C　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
(2)(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin (x＋)＋cos (x－)的最大值为(　A　)
A．　　 B．1　　
C．　　 D．
(3)已知函数f(x)＝sin (－x)sin x－cos2x，则f(x)在[，]上的增区间为(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[分析]　(1)将sin (＋α)展开后重组再用辅助角公式化简．
[解析]　(1)∵sin (＋α)＋cos α＝－，
∴cos α＋sin α＋cos α＝－，
即sin α＋cos α＝－
∴sin α＋cos α＝－，即sin (α＋)＝－，
∴cos (－α)＝cos [－(α＋)]＝sin (α＋)＝－，故选C．
(2)f(x)＝sin (x＋)＋cos [(x＋)－]＝sin (x＋)＋sin (x＋)＝sin (x＋)，∴f(x)的最大值为，故选A．
(3)f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin(2x－)－，当x∈时，有0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤时，即≤x≤时，f(x)单调递增；综上可知，f(x)在上单调递增，故选B．