人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品同步练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品同步练习题，共7页。

《函数的最(小)值》同步培优


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若函数y=ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )


A.2 B.－2 C.2或－2 D.0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数y=x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )


A.[1，＋∞) B.[0,2] C.(－∞，2] D.[1,2]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 当0≤x≤2时，a＜-x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )


A.(-∞，1] B.(-∞，0] C.(-∞，0) D.(0，＋∞)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( )


A.f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)


B.f(x)＋c在[a，b]上有最小值f(a)＋c


C.f(x)－c在[a，b]上有最小值f(a)－c


D.cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数f(x)的定义域为R，有下列四个命题：


(1)若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值


(2)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)

(3)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)

(4)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值


这些命题中，正确命题的个数是( )


A.0 B.1 C.2 D.3





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=|x－3|－|x＋1|的( )


A.最小值是0，最大值是4


B.最小值是－4，最大值是0


C.最小值是－4，最大值是4


D.没有最大值也没有最小值





LISTNUM OutlineDefault \l 3 当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )


A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.(－∞，0) D.(0，＋∞)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=2x＋eq \r(1－2x)，则( )


A.有最大值eq \f(5,4)，无最小值


B.有最小值eq \f(5,4)，无最大值


C.有最小值eq \f(1,2)，最大值eq \f(5,4)


D.既无最大值，也无最小值








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=x2＋bx＋c且f(1＋x)=f(－x)，则下列不等式中成立的是( )


A.f(－2)

B.f(0)

C.f(0)

D.f(2)




LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=3－2|x|，g(x)=x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)=g(x)；当f(x)

A.有最大值3，最小值－1


B.有最大值3，无最小值


C.有最大值7－2eq \r(7)，无最小值


D.无最大值，也无最小值





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=3-2|x|，g(x)=x2-2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)=g(x)；当f(x)

A.有最大值3，最小值-1


B.有最大值3，无最小值


C.有最大值7-2eq \r(7)，无最小值


D.无最大值，也无最小值








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( )


A.f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)


B.f(x)＋c在[a，b]上有最小值f(a)＋c


C.f(x)-c在[a，b]上有最小值f(a)-c


D.cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是 .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 对于函数f(x)=x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax=－1叫做函数f(x)=x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=x2＋ax＋3(0




LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.


(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.


(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=eq \f(x2＋2x＋a,x)，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求a的取值范围.





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数y=f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)＋f(y)，且满足f(2)=1.


(1)求f(1)，f(4)的值；


(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞).


(1)当a=eq \f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；


(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.






































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；


解析：当a=0时，不满足题意；当a>0时，y=ax＋1在[1,2]上为增函数，


所以2a＋1－(a＋1)=2，解得a=2；


当a<0时，y=ax＋1在[1,2]上为减函数，


所以a＋1－(2a＋1)=2，解得a=－2，故a=±2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由y=x2－2x＋3=(x－1)2＋2知，当x=1时，y的最小值为2，


当y=3时，x2－2x＋3=3，解得x=0或x=2.


由y=x2－2x＋3的图象知，


当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：a＜-x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)=-x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，


而f(x)=-x2＋2x，x∈[0,2]的最小值为0，故a＜0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C


解析：其中(2)，(4)是正确的.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)=－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，


而f(x)=－x2＋2x，x∈ [0,2]的最小值为0，∴a＜0.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A;


解析：设eq \r(1－2x)=t(t≥0)，则x=eq \f(1－t2,2)，所以y=1－t2＋t=－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)(t≥0)，


对称轴t=eq \f(1,2)∈[0，＋∞)，所以y在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上递减，


所以y在t=eq \f(1,2)处取得最大值eq \f(5,4)，无最小值.选A.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C;


解析：∵f(1＋x)=f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c=x2－bx＋c，


∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c=x2－bx＋c，∴2＋b=－b，即b=－1.


∴f(x)=x2－x＋c，其图像的对称轴为x=0.5.


∴f(0)




LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：画图得到F(x)的图象：射线AC、抛物线AB及射线BD三段，


联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋3，,y＝x2－2x，))





得xA=2－eq \r(7)，代入得F(x)的最大值为7－2eq \r(7)，由图可得F(x)无最小值，从而选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：画图得到F(x)的图象：射线AC、抛物线AB及射线BD三段，


联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋3，,y＝x2－2x，))





得xA=2-eq \r(7)，代入得F(x)的最大值为7-2eq \r(7)，由图可得F(x)无最小值，从而选C.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：5；


解析：由y= QUOTE 知此函数在[0,3]上的最大值为4,


在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2；


解析：a2－4a＋6=(a－2)2＋2≥2，则a2－4a＋6的下确界为2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：4＋a 3－0.25a2；


解析：函数y=f(x)=x2＋ax＋3的对称轴方程为x=－eq \f(a,2)，


因为0

f(x)min=f(-0.5a)=3－0.25a2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－∞，－1);


解析：解法一：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即a＜x2＋2x对一切x∈R都成立.因为x2＋2x=(x＋1)2－1，所以a＜－1.


解法二：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即x2＋2x－a＞0对一切x∈R都成立，所以Δ=4＋4a＜0即可，解得a＜－1.








、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x10,因为x>0时,f(x)<0,


所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,


所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),


所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)

所以f(x)是R上的单调减函数.


(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,


所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,


所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).


而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.


所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：在区间[1，＋∞)上，f(x)=eq \f(x2＋2x＋a,x)>0恒成立


⇔x2＋2x＋a>0恒成立，


即a>－(x2＋2x)在[1，＋∞)上恒成立.


由于g(x)=－(x2＋2x)=－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，


∴g(x)max=g(1)=－3.


∴a>－3.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)令x=y=1，得f(1)=f(1)＋f(1)，所以f(1)=0，


令x=y=2，得f(4)=f(2)＋f(2)=1＋1=2，所以f(4)=2.


(2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)＋f(y)可得2=1＋1=f(2)＋f(2)=f(4).


因为f(2)＋f(x－3)≤2.


所以f(2(x－3))≤f(4).


又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3>0,2x－3≤4，))解得3

即x的取值范围为(3,5].





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)当a=eq \f(1,2)时f(x)=x＋eq \f(1,2x)＋2.


设1≤x1

∵1≤x10,2x1x2>2，


∴00.


∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)

∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数.


∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)=3.5.


(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.


设y=x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，


则函数y=x2＋2x＋a=(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数.


所以当x=1时，y取最小值，即ymin=3＋a，


于是当且仅当ymin=3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，


故a的取值范围为(－3，＋∞).