高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品课时练习

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品课时练习，共7页。

《函数的奇偶性》同步培优


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 定义在R上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列给出的不等式中成立的是（ ）


①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)


②f(b)-f(-a)

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)


④f(a)-f(-b)

A.②④ B.②③ C.①④ D.①③





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解是（ ）


A.-33 B.x<-3或0

C.x<-3或x>3 D.-3




LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )


A.a≤－2 B.a≥2 C.a≤－2或a≥2 D.－2≤a≤2





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )


A.最小值－5 B.最大值－5 C.最小值－1 D.最大值－3





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)=f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为( )


A.2m＋3 B.2m＋6 C.6－2m D.6





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=eq \f(px2＋2,q－3x)是奇函数，且f(2)=－eq \f(5,3)，则函数f(x)的解析式f(x)=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )


A.f(x)－f(－x)＞0 B.f(x)－f(－x)≤0


C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(x)·f(－x)＞0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的


x的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=eq \f(\r(4－x2),|x＋2|－2)是( )


A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶











LISTNUM OutlineDefault \l 3 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )


A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数


B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数


C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数


D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数





LISTNUM OutlineDefault \l 3 下面四个结论：


①偶函数的图像一定与y轴相交；


②奇函数的图像一定通过原点；


③偶函数的图像关于y轴对称；


④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).


其中正确命题的个数是( )


A.1 B.2 C.3 D.4





LISTNUM OutlineDefault \l 3 定义在R上的奇函数f(x)，满足f(0.5)=0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(1,2)))))





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调递减函数，且f(1-a)

___________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)=0，则eq \f(f（x）,x)<0的解集为_______________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若f(x)=(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大顺序是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)=af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)=5，则F(3)的值为______.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.


(1)求f(-1)的值.


(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.


(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].


(1)求m,n的值.


(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 对于任意非零实数x,y，函数y=f(x)(x≠0)满足f（xy）=f(x)+f(y).


（1）求证：f(1)=f(-1)=0；


（2）求证：y=f(x)是偶函数；


（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，解不等式f(x)+f(x-0.5)≤0.





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)＞0.


(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；


(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.






































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：D；


解法一：取f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=1代入①得，3>1;②得，3<1;③得，3>-1;④得，3<-1.故①③正确，选D.


解法二：令f(x)=x,g(x)=|x|作出相应图象，如下图所示.观察图象可知①③正确.故选D.





解法三：由于f(x)为奇函数且在原点有意义，故f（0）=0，又f(x)为增函数，


∴f(a)>f(b)>f(0)=0.当x≥0时，g(x)=f(x).


据条件改写①得，f(b)+f(a)>g(a)-g(b)=f(a)-f(b)，即f(b)>0,①正确而②不正确.


改写③得，f(a)+f(b)>g(b)-g(a)=f(b)-f(a)，即f(a)>0，③正确而④不正确，故选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由条件得f(3)=f(-3)=0,


x·f(x)<0或-3




LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由已知，函数y=f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，


由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)=f(2)，a≤2.


综上知－2≤a≤2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由已知，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)=aφ(x)＋bg(x)＋2≤5.


对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，且φ(x)，g(x)都是奇函数，


有f(－x)=aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5.即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，


∴aφ(x)＋bg(x)≥－3.∴f(x)=aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2=－1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.


所以函数F(x)=f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)=6.故选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(2x2＋2,3x)；


解析：f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(q,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(q,3)，＋∞))，若f(x)是奇函数，则eq \f(q,3)=0，得q=0.


故f(x)=eq \f(px2＋2,－3x)，又f(2)=－eq \f(5,3)，得eq \f(p×4＋2,－6)=－eq \f(5,3)，得p=2，


因此f(x)=eq \f(2x2＋2,－3x)=－eq \f(2x2＋2,3x).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)=－f(x).∴f(x)·f(－x)=－[f(x)]2.


又∵f(0)=0，∴－[f(x)]2≤0.故选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A;


解析：∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，


∴－eq \f(1,3)＜2x－1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,3)＜x＜eq \f(2,3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A;


解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))∴f(x)的定义域为x∈[－2,0)∪(0,2]，


关于原点对称.此时f(x)=eq \f(\r(4－x2),|x＋2|－2)=eq \f(\r(4－x2),x).


又f(－x)=eq \f(\r(4－－x2),－x)=－eq \f(\r(4－x2),x)=－f(x)，∴f(x)=eq \f(\r(4－x2),|x＋2|－2)为奇函数.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


解析：∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(0.5)=0，


∴f(-0.5)=0，且在区间(－∞，0)上单调递减，


∵当－0.5＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，


当0＜x＜0.5时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，


综上，xf(x)＞0的解集为0







、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：0

解析：f(1-a)




LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：{x|－33}；


解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，


所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以f(3)=f(－3)=0.


当x>0时，f(x)<0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得－3

故－33.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：f(－2)＜f(1)＜f(0)；


解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)=f(x)恒成立，


即(m－1)x2－6mx＋2=(m－1)x2＋6mx＋2恒成立.所以m=0，即f(x)=－x2＋2.


因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，所以f(2)＜f(1)＜f(0)，


即f(－2)＜f(1)＜f(0).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－9；


解析：设G(x)=af(x)＋bg(x).


∵f(x)，g(x)为奇函数，∴G(x)为奇函数.


∵F(－3)=G(－3)－2=5，∴G(－3)=7.


∴G(3)=－G(－3)=－7.∴F(3)=G(3)－2=－7－2=－9.








、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)f(-1)=-f(1)=-=-.


(2)任取x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),所以f(-x)=,


因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=,


所以f(x)=,x∈(-∞,0).


(3)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下:


任取x1,x2为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,且x1

则f(x2)-f(x1)=-==.


因为x1>0,x2>0,所以(x2+1)>0,(x1+1)>0,


又x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),


所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,


所以函数的定义域关于原点对称.


又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m].


所以m-1+2m=0,解得m=.


又因为函数f(x)是偶函数,


所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.


(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=x2+1,定义域为,其图象是开口方向朝上,


且以y轴为对称轴的抛物线,


所以当x=±时,f(x)取最大值.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0.


由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0，


∴f(a)＋f(－b)＞0.


又f(x)是定义在R上的奇函数，


∴f(－b)=－f(b).


∴f(a)－f(b)＞0，


即f(a)＞f(b).


(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数.


∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，


∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，


即f(1＋m)≥f(2m－3).


∴1＋m≥2m－3.


∴m≤4.


∴实数m的取值范围是(－∞，4].