初中北师大版第四章 图形的相似综合与测试优秀当堂达标检测题

这是一份初中北师大版第四章 图形的相似综合与测试优秀当堂达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：100分钟 满分：120分)


一、选择题(每小题3分，共30分)


1．如果mn＝ab，那么下列比例式中错误的是( C )


A． eq \f(a,m) ＝ eq \f(n,b) B． eq \f(a,n) ＝ eq \f(m,b) C． eq \f(m,a) ＝ eq \f(n,b) D． eq \f(m,a) ＝ eq \f(b,n)


2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( C )


A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9


3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( D )


A． eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AG,AD) B． eq \f(DF,CF) ＝ eq \f(DG,AD) C． eq \f(FG,AC) ＝ eq \f(EG,BD) D． eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(CF,DF)


eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图))


4．(2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C )


A．3对 B．5对 C．6对 D．8对


5．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( A )


A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm


6．(2019·巴中)如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝( D )


A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9


7．(2019·锦州)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为( C )


A． eq \f(3,2) B． eq \f(6,5) C． eq \f(3,2) 或 eq \f(3,5) D． eq \f(3,2) 或 eq \f(6,5)


eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))


8．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( D )


A．－ eq \f(1,2) a B．－ eq \f(1,2) (a＋1) C．－ eq \f(1,2) (a－1) D．－ eq \f(1,2) (a＋3)


9．(2019·贵港)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为( C )


A．2 eq \r(3) B．3 eq \r(2) C．2 eq \r(6) D．5


10．(2019·东营)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 eq \f(1,4) ；④DF2＋BE2＝OG·OC.其中正确的是( B )


A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④


二、填空题(每小题3分，共15分)


11．若x∶y＝1∶2，则 eq \f(x－y,x＋y) ＝__－ eq \f(1,3) __．


12．(连云港中考)如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为__1∶9__．


eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))


13．(2019·阜新)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为__ eq \f(15,4) __．


14．(2019·烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__(－5，－1)__．


15．(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 eq \r(5) ，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为__8__．


三、解答题(共75分)


16．(8分)(杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.





(1)求证：△BDE∽△CAD；


(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．


解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD (2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝12，∵ eq \f(1,2) ·AD·BD＝ eq \f(1,2) ·AB·DE，∴DE＝ eq \f(60,13)











17．(9分)(凉山州中考)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).


(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；


(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．


解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形 (2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F，∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－ eq \f(1,2) ×6×2－ eq \f(1,2) ×4×8－ eq \f(1,2) ×6×10＝28

















18．(9分)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.





(1)求证：△ABF∽△ECF；


(2)如果AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求CE的长．


解：(1)∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF (2)∵AD＝BC，AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴ eq \f(BA,CE) ＝ eq \f(BF,CF) ，即 eq \f(8,CE) ＝ eq \f(3,2) .∴CE＝ eq \f(16,3) cm








19．(9分)(福建中考)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′(∠A′＝∠A)，以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．





解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求





(2)已知：如图，△ABC∽△A′B′C′， eq \f(A′B′,AB) ＝ eq \f(B′C′,BC) ＝ eq \f(A′C′,AC) ＝k，D是AB的中点，D′是A′B′的中点，求证： eq \f(C′D′,CD) ＝k.证明：∵D是AB的中点，D′是A′B′的中点，∴AD＝ eq \f(1,2) AB，A′D′＝ eq \f(1,2) A′B′，∴ eq \f(A′D′,AD) ＝ eq \f(\f(1,2)A′B′,\f(1,2)AB) ＝ eq \f(A′B′,AB) ，∵△ABC∽△A′B′C′，∴ eq \f(A′B′,AB) ＝ eq \f(A′C′,AC) ，∠A′＝∠A，∵ eq \f(A′D′,AD) ＝ eq \f(A′C′,AC) ，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴ eq \f(C′D′,CD) ＝ eq \f(A′C′,AC) ＝k


20．(9分)(2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过O，分别交AB，CD于点E，F，EF的延长线交CB的延长线于M.


(1)求证：OE＝OF；


(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．





解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OAE＝∠OCF，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，)) ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF (2)过点O作ON∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝ eq \f(1,2) BC＝2，BN＝ eq \f(1,2) AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴ eq \f(ON,BM) ＝ eq \f(NE,BE) ，即 eq \f(2,1) ＝ eq \f(3－BE,BE) ，解得BE＝1








21．(10分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)


解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴ eq \f(CA,MN) ＝ eq \f(AD,ND) ，∴ eq \f(1.6,MN) ＝ eq \f(1×0.8,（5＋1）×0.8) ，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴ eq \f(EB,MN) ＝ eq \f(BF,NF) ，∴ eq \f(EB,9.6) ＝ eq \f(2×0.8,（2＋9）×0.8) ，∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米





22．(10分)(2019·梧州)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H.


(1)求DE的长；


(2)求证：∠1＝∠DFC.





(1)解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴ eq \f(AD,CF) ＝ eq \f(DE,CE) ，设DE＝x，则 eq \f(3,5) ＝ eq \f(x,4－x) ，解得x＝ eq \f(3,2) ，∴DE＝ eq \f(3,2) (2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴ eq \f(DG,BG) ＝ eq \f(AD,BH) ，∴ eq \f(DG,5－DG) ＝ eq \f(3,5) ，∴DG＝ eq \f(15,8) ，∵DE＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(DE,DG) ＝ eq \f(DC,DB) ＝ eq \f(4,5) ，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC





23．(11分)(苏州中考)问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.


(1)当AD＝3时， eq \f(S′,S) ＝________；


(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示 eq \f(S′,S) .


问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝ eq \f(1,2) BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示 eq \f(S′,S) .





解：问题1：(1)∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4－3＝1，∵DE∥BC，∴ eq \f(CE,EA) ＝ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(1,3) ，∴ eq \f(S△DEC,S△ADE) ＝ eq \f(EC,AE) ＝ eq \f(1,3) ＝ eq \f(3,9) ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(S△ADE,S△ABC) ＝( eq \f(3,4) )2＝ eq \f(9,16) ，∴ eq \f(S△DEC,S△ABC) ＝ eq \f(3,16) ，即 eq \f(S′,S) ＝ eq \f(3,16) (2)∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4－m，∵DE∥BC，∴ eq \f(CE,EA) ＝ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(4－m,m) ，∴ eq \f(S△DEC,S△ADE) ＝ eq \f(CE,AE) ＝ eq \f(4－m,m) ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(S△ADE,S△ABC) ＝( eq \f(m,4) )2＝ eq \f(m2,16) ，∴ eq \f(S△DEC,S△ABC) ＝ eq \f(S△DEC,S△ADE) · eq \f(S△ADE,S△ABC) ＝ eq \f(4－m,m) · eq \f(m2,16) ＝ eq \f(－m2＋4m,16) ，即 eq \f(S′,S) ＝ eq \f(－m2＋4m,16) 问题2：如图②，分别延长BA，CD交于点O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴ eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(AD,BC) ＝ eq \f(1,2) ，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4＋n，∵EF∥BC，由问题1的解法可知： eq \f(S△CEF,S△OBC) ＝ eq \f(S△CEF,S△OEF) · eq \f(S△OEF,S△OBC) ＝ eq \f(4－n,4＋n) ×( eq \f(4＋n,8) )2＝ eq \f(16－n2,64) ，∵ eq \f(S△OAD,S△OBC) ＝( eq \f(OA,OB) )2＝ eq \f(1,4) ，∴ eq \f(S四边形ABCD,S△OBC) ＝ eq \f(3,4) ，∴ eq \f(S△CEF,S四边形ABCD) ＝ eq \f(S△CEF,\f(3,4)S△OBC) ＝ eq \f(4,3) × eq \f(16－n2,64) ＝ eq \f(16－n2,48) ，即 eq \f(S′,S) ＝ eq \f(16－n2,48)