北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课时训练

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课时训练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：100分钟 满分：120分)





一、选择题(每小题3分，共30分)


1．下列命题中，真命题是( C )


A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形


C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形


2．(2019·赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是 ( A )


A．2.5 B．3 C．4 D．5


eq \(\s\up7(),\s\d5(第2题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图))


3．(兰州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )


A．5 B．4 C．3.5 D．3


4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为( B )


A． eq \f(3\r(10),2) B． eq \f(3\r(10),5) C． eq \f(\r(10),5) D． eq \f(3\r(5),5)


5．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )


A．(2， eq \r(3) ) B．( eq \r(3) ，2) C．( eq \r(3) ，3) D．(3， eq \r(3) )


6．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( C )


A．8 B．12 C．16 D．32


7．(广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( B )


A． eq \r(2) B．2 eq \r(2) C． eq \r(2) ＋1 D．2 eq \r(2) ＋1


8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A( eq \r(2) ，0)，B(1，1).若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( D )


A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位


B．向左平移(2 eq \r(2) －1)个单位，再向上平移1个单位


C．向右平移 eq \r(2) 个单位，再向上平移1个单位


D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位


eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))


9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A )


A． eq \r(2) B．2 C． eq \r(6) D．2 eq \r(2)


10．(2019·包头)如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是( C )


A． eq \f(\r(3)＋1,4) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \r(3) －1 D． eq \f(2,3)


二、填空题(每小题3分，共15分)


11．(2019·十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为__24__．


12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．


eq \(\s\up7(),\s\d5(第11题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图))


13．(2019·玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是__673__．


14．(2019·菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__8 eq \r(5) __．





15．(2019·内江)如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝ eq \f(2,3) AC，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部分)的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝ eq \r(5) ，则S2＋S3＝__ eq \f(3\r(5),4) __．


三、解答题(共75分)


16．(8分)(2019·岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2.





证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CD，,∠D＝∠D，,DF＝DE，)) ∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2





17．(9分)(湘西州中考)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.


(1)求证：△ADE≌△BCE；


(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．





解：(1)在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.在△ADE与△BCE中，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(SAS) (2)由(1)知△ADE≌△BCE，则DE＝EC，在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝ eq \f(1,2) AB＝3，由勾股定理知DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝5，∴△CDE的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝2×5＋6＝16


18．(9分)(2019·青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.


(1)求证：△AEF≌△DEB；


(2)证明四边形ADCF是菱形．





证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AEF和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AFE＝∠DBE，,∠AEF＝∠BED，,AE＝DE，)) ∴△AEF≌△DEB(AAS) (2)由(1)知AF＝BD，且BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝ eq \f(1,2) BC＝CD，∴四边形ADCF是菱形





19．(9分)(上海中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.


(1)求证：四边形ABCD是菱形；


(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．





证明：(1)在△ADE与△CDE中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴▱ABCD是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形





20．(9分)(遵义中考)如图，在矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．


(1)求证：CP＝AQ；


(2)若BP＝1，PQ＝2 eq \r(2) ，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．





证明：(1)易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，∵∠AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝ eq \r(2) BP＝ eq \r(2) ，∴EQ＝PE＋PQ＝ eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ＝3 eq \r(2) ，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝2×4＝8





21．(10分)(2019·天门)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF.求证：


(1)AE⊥BF；


(2)四边形BEGF是平行四边形．





证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BC，,∠ABE＝∠BCF，,BE＝CF，)) ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF





(2)延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由(1)得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠P＝∠ECG，,AP＝CE，,∠BAE＝∠CEG，)) ∴△APE≌△ECG(ASA)，∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形








22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.


(1)求证：CE＝AD；


(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；


(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．





证明：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD (2)四边形CDBE是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形 (3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.∵D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形








23．(11分)(1)如图①，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；


(2)如图②，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN；


(3)若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．





解：(1)过B点作BH∥MN交CD于点H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP与△BCH中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH，∴AP＝BH，∴AP＝MN (2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝ eq \f(1,2) AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)由(2)有EF＝ eq \f(1,2) MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD＝2 eq \r(2) .当点P和点B重合时，EF最小，最小值＝ eq \f(1,2) MN＝ eq \f(1,2) AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大，最大值＝ eq \f(1,2) MN＝ eq \f(1,2) BD＝ eq \r(2)