（数学）天津郊区2019-2020学年高二下学期期末五校联考数学试卷

2019-2020学年天津市郊区五校联考高二第二学期期末数学试卷
一、选择题（共9小题）.
1．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{4，5} B．{3，4，5} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．若命题p：∀x≥0，ex+2x﹣1≥0，则命题p的否定为（　　）
A．∃x0＜0，+2x0﹣1＜0 B．∀x≥0，ex+2x﹣1＜0
C．∃x0≥0，+2x0﹣1＜0 D．∃x0＜0，+2x0﹣1≥0
3．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．等差数列{an}中，其前n项和为Sn，满足a3+a4＝6，2a5＝9，则S7的值为（　　）
A． B．21 C． D．28
5．二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣160 B．﹣80 C．80 D．160
6．从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（　　）
A．70 B．74 C．84 D．504
7．已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3+aln（﹣x），且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是1，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
9．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≤k的解集为[m，n]∪[a，b]，且n＜a，mn+abk＜，则实数k的取值范围为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．[，）
二、填空题（共6小题）.
10．已知（2x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4，则a1+a2+a3+a4＝　 　．
11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于　 　．
12．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　 　种（用数字作答）．

13．已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为　 　．
14．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），则a1+a100等于　 　．
15．已知函数f（x）＝函数g（x）＝2﹣f（x），若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（共5小题）.
16．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
（Ⅰ）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率：
（Ⅱ）记3次试验中，都选择了第一套方案并试难成功的次数为X，求X的分布列和期望EX．
17．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
18．（理）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；
（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an+1+2n﹣8，n∈N*，a1＝8，设bn＝an﹣2．
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设cn＝（﹣1）n，求{cn}的前n项和Tn，若对于任意n∈N*，λ≥Tn恒成立，求λ的取值范围．
20．已知函数f（x）＝alnx++1．
（Ⅰ）当a＝﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共9小题，每题5分，共45分）.
1．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{4，5} B．{3，4，5} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
解：∵全集U＝R，
集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，
∴∁UB＝{x|x＜3}．
∴A∩∁UB＝{0，1，2}．
故选：C．
2．若命题p：∀x≥0，ex+2x﹣1≥0，则命题p的否定为（　　）
A．∃x0＜0，+2x0﹣1＜0 B．∀x≥0，ex+2x﹣1＜0
C．∃x0≥0，+2x0﹣1＜0 D．∃x0＜0，+2x0﹣1≥0
解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0≥0，+2x0﹣1＜0，
故选：C．
3．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出对数不等式的解，再根据充分必要条件的定义即可判断．
解：ln（x+3）＜0，则0＜x+3＜1，即﹣3＜x＜﹣2，
∴“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
4．等差数列{an}中，其前n项和为Sn，满足a3+a4＝6，2a5＝9，则S7的值为（　　）
A． B．21 C． D．28
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
解：∵a3+a4＝6，2a5＝9，
∴2a1+5d＝6，2a1+8d＝9，
解得a1＝，d＝1，
∴S7＝7a1+×d＝+21＝，
故选：C．
5．二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣160 B．﹣80 C．80 D．160
【分析】由题意利用二项式系数的性质求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求出常数项．
解：二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即﹣＝9，∴n＝6，或n＝﹣3（舍去）．
故展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r．
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得该展开式中的常数项为﹣160，
故选：A．
6．从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（　　）
A．70 B．74 C．84 D．504
【分析】从反面考虑，从9名学生中任选3名的所有选法种，去掉3名全是男生的情况，即为所求结果．
解：从所有的9名学生中选出3名，有种选法，其中全为男生的有种选法，
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有种．
故选：B．
7．已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3+aln（﹣x），且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是1，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性可得f（x）在x＞0时的解析式，求出其导数，进而可得f′（1）的值，由导数的几何意义即可得答案．
解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（﹣x）3+aln（﹣x）＝﹣x3+aln（﹣x），
又由函数f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣aln（﹣x），
则当x＞0时，f′（x）＝3x2﹣，
曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1；
则f′（1）＝3﹣a＝1，解得a＝2．
故选：C．
8．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】依题意，可构造函数g（x）＝（x≠0），分析得g（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递增，从而可得答案．
解：令g（x）＝（x≠0），
由于f（x）为R上的奇函数，
所以g（x）＝（x≠0）为定义域上的偶函数，
又当x＞0时，xf'（x）＞f（x），
所以，当x＞0时，g′（x）＝＞0，
所以，偶函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
又0＜sin＜1＜log46＜log49＝log23，
所以g（sin）＜g（log46）＜g（log49）＝g（log23）＝g（﹣log23），
即c＜b＜a，
故选：C．
9．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≤k的解集为[m，n]∪[a，b]，且n＜a，mn+abk＜，则实数k的取值范围为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．[，）
【分析】根据二次函数性质、根与系数关系、对数性质列不等式求出k的范围．
解：由题意可知：m，n是方程x2+kx+2k2＝k的两个非正数根，故mn＝2k2﹣k≥0，解得k≤0或k≥，①
又m+n＝﹣k＜0可得k＞0，②
又△＝k2﹣4（2k2﹣k）＞0可得：0＜k＜，③
由题意可知a，b是方程|lnx|＝k的两个根，
又a＜b，∴﹣lna＝lnb，即lnab＝0，∴ab＝1，
由mn+abk＜可得：2k2﹣k+1﹣＜，即2k2﹣+＜0，
解得：＜k＜，④
由①②③④可知：≤k＜．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分．）
10．已知（2x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4，则a1+a2+a3+a4＝　﹣80　．
【分析】在所给的等式中，令x＝﹣1，可得a0＝81，令x＝0，可得a0+a1+a2+a3+a4 ＝1，由此即可计算得解．
解：在（2x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4，
令x＝﹣1，可得a0＝81，
令x＝0，可得a0+a1+a2+a3+a4 ＝1，
可得：a1+a2+a3+a4＝﹣80，
故答案为：﹣80．
11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于　　．
【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．
解：P（A）＝，P（AB）＝．
由条件概率公式得P（B|A）＝．
故答案为．
12．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　390　种（用数字作答）．

【分析】由题意选出 的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．
解：用2色涂格子有C62×2＝30种方法，
用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）＝18种，
所以涂色方法18×C63＝360种方法，
故总共有390种方法．
故答案为：390
13．已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为　（﹣2，1）　．
【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．
解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）＝x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f（x）＝4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，
该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数
∵f（2﹣a2）＞f（a），
∴2﹣a2＞a
解得﹣2＜a＜1
实数a 的取值范围是（﹣2，1）
故答案为：（﹣2，1）
14．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），则a1+a100等于　﹣2　．
【分析】由函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1轴对称，平移可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由题意可得a50+a51＝﹣2，运用等差数列的性质，计算即可得到所求和．
解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，
可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，
由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），
可得a50+a51＝﹣2，又{an}是等差数列，
所以a1+a100＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．已知函数f（x）＝函数g（x）＝2﹣f（x），若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是　（2，3]　．
【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y＝f（x）﹣g（x）＝0转化为f（x）＝1，利用数形结合进行求解即可．
解：由题意当y＝f（x）﹣g（x）＝2[f（x）﹣1]＝0 时，即方程f（x）＝1 有4个解．
又由函数y＝a﹣|x+1|与函数y＝（x﹣a）2 的大致形状可知，
直线y＝1 与函数f（x）＝ 的左右两支曲线都有两个交点
当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，
同时在[﹣1，1]上f（x）＝a﹣|x+1|的最小值为f（1）＝a﹣2，
当a＞1时，在（1，a]上f（1）＝（1﹣a）2，
要使y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
则满足，即，解得2＜a≤3．
故答案为：（2，3]

三、解答题（本题共5小题，每题15分，共75分．）
16．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
（Ⅰ）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率：
（Ⅱ）记3次试验中，都选择了第一套方案并试难成功的次数为X，求X的分布列和期望EX．
【分析】记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为Ai，i＝1，2，则P（Ai）＝×＝．
（Ⅰ）记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为Ai，i＝1，2，则P（Ai）＝×＝．由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率．
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，），P（X＝k）＝C3k（）k（）3﹣k，k＝0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．
解：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为Ai，i＝1，2，则P（A）＝+＝．
（Ⅰ）3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
P＝P（A1•A1•A1+A2•A2•A2）＝（）3+（）3＝．
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，），
P（X＝k）＝C3k（）k（）3﹣k，k＝0，1，2，3．
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




EX＝3×＝1．
17．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【分析】（1）根据等比数列递推公式可得得正向等比数列{an}的公比为2，从而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可得cn＝an•bn＝（2n+1）•2n，利用错位相减法可以得到Sn．
解：（1）由已知得，2a2＝a2•q2﹣a2•q，解之得，q1＝﹣1（舍），q2＝2，故q＝2，
所以an＝a1•qn﹣1＝2n，bn＝1+2log22n＝2n+1．
（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•2n，根据题意利用错位相减法可得：
Sn＝3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）•2n…①
2Sn＝3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n+…+（2n+1）•2n…②
①﹣②得，﹣Sn＝6+23+24+…+2n+1﹣（2n+1）•2n+1＝6+﹣（2n+1）•2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1，
故Sn＝（2n﹣1）•2n+1+2．
18．（理）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；
（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用古典概型求解一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；
（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求出概率即可得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望．
解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A，
则．
（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C，
则，，
所以，，，，，
X
0
10
20
30
40
p





所以E（X）＝．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an+1+2n﹣8，n∈N*，a1＝8，设bn＝an﹣2．
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设cn＝（﹣1）n，求{cn}的前n项和Tn，若对于任意n∈N*，λ≥Tn恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）运用等比数列的通项公式，以及数列的并项求和，对n讨论奇数或偶数，以及恒成立思想，可得所求范围．
【解答】（Ⅰ）证明：，
当n＝1时，a1＝S1＝a2﹣6，a2＝14，
当n≥2，n∈N*时，Sn＝an+1+2n﹣8，Sn﹣1＝an+2n﹣10，
相减可得an+1＝2an﹣2，
即an+1﹣2＝2（an﹣2），即，
又，
可得{bn}是首项b1＝6，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（1）知，即，
所以
＝，，
∴，
当n为偶数时，是递减的，
此时当n＝2时，Tn取最大值，则．
当n为奇数时，是递增的，
此时，则．
综上，λ的取值范围是．
20．已知函数f（x）＝alnx++1．
（Ⅰ）当a＝﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝﹣时，，∴．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）＝0得x＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）＝，f（）＝，f（e）＝，
∴f（x）max＝f（e）＝，f（x）min＝f（1）＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f（）
即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）
整理得ln（a+1）＞﹣1
∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣