初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品巩固练习

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品巩固练习，共12页。试卷主要包含了定义新运算“a*b”等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）


A．3x2﹣5x＝6B．﹣2＝0C．x2+y2＝4D．6x+1＝0


2．已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个方程可以是（ ）


A．（x+3）（x﹣2）＝0B．x2+x+6＝0


C．（x﹣3）（x+2）＝0D．x2﹣3x+2＝0


3．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（ ）


A．2，8B．3，4C．4，3D．4，8


4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）


A．m≥B．m≤C．m≥3D．m≤3


5．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）


A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2


C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，2


6．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）


A．2B．4C．8D．2或4


7．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）


A．有一个实数根B．有两个相等的实数根


C．有两个不相等的实数根D．没有实数根


8．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（ ）


A．（x﹣2）2＝B．2（x﹣2）2＝C．（x﹣1）2＝D．（2x﹣1）2＝1


9．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）





A．①B．②C．③D．④


10．若整数a既使得关于x的分式方程﹣2＝有非负数解，又使得关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，则符合条件的所有a的个数为（ ）


A．1B．2C．3D．4


二．填空题


11．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为 ．


12．用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为： ．


13．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是 ．


14．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ．


15．关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．


三．解答题


16．解一元二次方程


（1）（2x﹣3）2＝4；


（2）x2﹣6x﹣5＝0．














17．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．


（1）求k的取值范围；


（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

















18．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．


（1）求每月盈利的平均增长率；


（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？














19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+5（k﹣）＝0．


求证：


（1）无论k取何值，该方程总有实数根；


（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．














20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．


（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；


①x2﹣x﹣6＝0；


②2x2﹣2x+1＝0．


（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；


（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．





参考答案


一．选择题


1．解：3x2﹣5x＝6符合一元二次方程的定义，故选项A正确；


﹣2＝0不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；


x2+y2＝4是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；


6x+1＝0是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．


故选：A．


2．解：∵3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6，


∴以3和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6＝0．


故选：C．


3．解：设方程的另一个根为t，


根据题意得t+2＝6，2t＝c，


解得t＝4，c＝8．


故选：D．


4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，


∴△＝12﹣4m≥0，


∴m≤3．


故选：D．


5．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，


则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．


故选：C．


6．解：x2﹣6x+8＝0


（x﹣4）（x﹣2）＝0


解得：x＝4或x＝2，


当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；


当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，


故选：A．


7．解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，


∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，


整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，


∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）


＝4k2+5＞0，


∴方程有两个不相等的实数根．


故选：C．


8．解：∵2x2﹣4x+1＝0，


∴2x2﹣4x＝﹣1，


x2﹣2x＝﹣，


x2﹣2x+1＝1﹣，


∴（x﹣1）2＝．


故选：C．


9．解：解方程x2﹣x﹣2＝0，


去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，


配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，


开方得：x﹣1＝±，


解得：x＝1±，


则四个步骤中出现错误的是④．


故选：D．


10．解：解﹣2＝得，x＝﹣，


∵分式方程﹣2＝有非负数解，


∴﹣≥0且x﹣1＝﹣﹣1≠0


∴a≤﹣1且a≠﹣4，


∵关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，


∴△＝1﹣4（a+6）＜0，


解得，a＞﹣5，


综上，﹣5＜x≤﹣1且a≠﹣4，


∵a为整数，


∴a＝﹣5或﹣3或﹣2或﹣1，


故选：D．


二．填空题


11．解：4x（x﹣2）＝x﹣2


4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0


（x﹣2）（4x﹣1）＝0


x﹣2＝0或4x﹣1＝0


解得x1＝2，x2＝．


故答案为：x1＝2，x2＝．


12．解：∵x2+6x+1＝0，


∴x2+6x＝﹣1，


∴x2+6x+9＝﹣1+9，


∴（x+3）2＝8，


故答案为：（x+3）2＝8．


13．解：设每次降价的百分率为x，


依题意，得：200（1﹣x）﹣200（1﹣x）2＝32，


整理，得：25x2﹣25x+4＝0，


解得：x1＝0.2＝20%，x2＝0.8＝80%．


当x＝20%时，200（1﹣x）2＝128＞110，符合题意；


当x＝80%时，200（1﹣x）2＝8＜110，不符合题意，舍去．


故答案为：20%．


14．解：设方程的另一个根为t，


根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．


即方程的另一个根为﹣1．


故答案为﹣1．


15．解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，


∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，


解得：m≥﹣且m≠﹣1．


故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．


三．解答题


16．解：（1）开方得：2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，


解得：x1＝2.5，x2＝0.5；


（2）方程整理得：x2﹣6x＝5，


配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，


开方得：x﹣3＝±，


解得：x1＝3+，x2＝3﹣．


17．解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，


解得k≤；


（2）不存在．


∵x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2，


而x1+x2和x1x2互为相反数，


∴﹣（2k﹣1）+k2＝0，解得k1＝k2＝1，


∵k≤，


∴不存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数．


18．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．


解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），


答：每月盈利的平均增长率为20%；





（2）7200（1+20%）＝8640（元），


答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到8640元．


19．解：（1）证明：，


∵4（k﹣2）2≥0，即△≥0，


∴无论取任何实数值，方程总有实数根；


（2）∵△ABC是等腰三角形，


∴b＝c或b、c中有一个为4，


①当b＝c时，△＝4（k﹣2）2＝0，则k＝2，


方程化为，


解得，


而，


∴、、4能够成三角形；△ABC的周长为；


②当b＝a＝4或c＝a＝4时，


把x＝4代入方程，得，


解得，


方程化为，


解得，x2＝4，


∵4、4、能够成三角形，


∴△ABC的周长为．


综上所述，△ABC的周长为9或．


20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，


x＝3或x＝﹣2，


∵2≠﹣3+1，


∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；


②x＝＝，


∵＝+1，


∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；


（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，


∴x＝m或x＝﹣1，


∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，


∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，


∴m＝0或﹣2；


（3）解方程得x＝，


∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，


∴﹣＝1，


∴b2＝a2+4a，


∵t＝12a﹣b2，


∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，


∵a＞0，


∴a＝4时，t的最大值为16．