2019届高考数学理一轮复习典型题专项训练：导数及其应用（含答案）

2019届高三数学一轮复习典型题专项训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2018全国I卷高考题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）A．   B．   C．   D．2、（2017全国I卷高考题）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，、、为元上的点，，，分别是一，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_______．3、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（   ）A．          B．1       C．2       D．4、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）已知点P(x,y)满足 ，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点为A,B，则直线AB斜率的最大值为（   ）   A、    B、    C、    D、5、（黄山市2018届高三一模检测）设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是                      6、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（   ）A．             B．         C．            D．7、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（   ）A．          B．          C．                D．8、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））的导函数满足：当时，，则（   ）A．           B．C．           D．9、（马鞍山市2018届高三第三次教学质量监测）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（   ）A．    B．    C．   D．10、（芜湖市2018届高三5月模拟）已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是(A)    (B)         (C)         (D)11、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）已知函数的导函数为，记，，，则（  ）A．         B．       C.         D．12、曲线在点处的切线方程为       .13、（2016年全国II卷）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，      ．   参考答案：一、选择、填空题1、D　　2、由题，连接，交与点，由题，，即的长度与的长度或成正比设，则，三棱锥的高则令，，令，即，则，则　　体积最大值为3、B　　　4、D　　　5、A6、D　　　7、C　　　8、C　　　9、A　　　10、B11、D　　　12、13、【解析】 的切线为：（设切点横坐标为）的切线为：∴解得  ∴．二、解答题1、（2018全国I卷高考题）已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，，证明：． 2、（2017全国I卷高考题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围． 3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）已知函数，，、.（Ⅰ）当时，方程在区间上有2个不同的实数根，求的取值范围；（Ⅱ）当时，设，是函数两个不同的极值点，证明：. 4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模））已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求和实数的值；（2）设，分别是函数的两个零点，求证. 5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）已知函数有两个极值点 (I) 若a的取值范围；(Ⅱ)若函数的两个极值点为，，证明：． 6、（滁州市2018届高三上学期期末）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若，是方程（）的两个不同的实数根，求证：. 7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).(Ⅰ)求实数的取值范围；(Ⅱ)求证：. 8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值. 9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）已知函数，，（1）求证：对R，函数f(x)与g(x)存在相同的增区间；（2）若对任意的，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k的最大值 10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）已知函数．（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 11、（黄山市2018届高三一模检测）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：. 12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）已知函数.（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明：. 13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）讨论函数零点的个数. 14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围. 15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数. 16、（马鞍山市2018届高三第三次教学质量监测）已知函数，.（1）试讨论函数极值点个数；（2）当时，函数在上最小值记为，求的取值范围. 17、（芜湖市2018届高三5月模拟）已知函数．曲线在处切线的斜率为，（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）证明：． 18、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.     参考答案：二、解答题1、（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增.②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，即要证()令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.2、（1）由于故当时，，．从而恒成立．在上单调递减当时，令，从而，得．单调减极小值单调增         综上，当时，在上单调递减；               当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．当时，．令．令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．若，则，故仅有一个实根，不满足条件．若，则，注意到．．故在上有一个实根，而又．且．故在上有一个实根．又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．综上，．3、  4、【解析】（I）由，得，，，所以曲线在点处的切线方程（）.将方程（）与比较，得解得 ，.                                         ………………5分（II） .因为，分别是函数的两个零点，所以两式相减，得，所以.                                       ……………… 7分因为， 所以..要证，即证. 因，故又只要证.令，则即证明.令，，则.这说明函数在区间上单调递减，所以，即成立.由上述分析可知成立.                                 ……………… 12分5、6、解：（1）依题意，故当时，，当时，故当时，函数有极小值，无极大值.（2）因为，是方程的两个不同的实数根.∴两式相减得，解得要证：，即证：，即证：，即证，不妨设，令.只需证.设，∴；令，∴，∴在上单调递减，∴，∴，∴在为减函数，∴.即在恒成立，∴原不等式成立，即.7、(Ⅰ)∵，∴.设，则.令，解得.∴当时，；当时，.∴.当时，，∴函数单调递增，没有极值点；当时，，且当时，；当时，.∴当时，有两个零点.不妨设，则.∴当函数有两个极值点时，的取值范围为.  …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.下面先证，只需证.∵，得，∴.设，，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴.∵函数在上也单调递减，∴.∴要证，只需证，即证.设函数，则.设，则，∴在上单调递增，∴，即.∴在上单调递增，∴.∴当时，，则，∴，∴. ………………………12分 8、Ⅰ）的定义域为，.∵.令，则（1）若，即当时，对任意，恒成立， 即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴在上单调递增.（2）若，即当或时，的对称轴为.①当时，，且.如图，任意，恒成立， 即任意时，恒成立，∴在上单调递增.②当时， ，且.如图，记的两根为 ∴当时，；当时，.∴当时，，当时，.∴在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）恒成立等价于，恒成立. 令，则恒成立等价于， . 要满足式，即在时取得最大值.∵.由解得.当时，，∴当时，；当时，.∴当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.所以，.9、解：（1），所以在为增函数，在为减函数由当时，恒成立，则f（x）在R上单调递增，所以命题成立当时，在为减函数，在为增函数设得得在为减函数，在为增函数，且，所以同理，所以，所以函数与也存在相同的增区间综上命题成立                ...............5分（2）证明：（2）对任意的，都有，则，则   所以△=即，由（1）知    所以有：恒成立设，则，且由所以在上有唯一实数根，且当时为减函数，当时为增函数所以，，   所以，且是正整数，所以，所以的最大值为4    ..............12分10、11、解：（1）函数的定义域为..   …1分，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.    函数的减区间为；增区间为.    ………………………5分所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.…6分（2）由 （1）知当时，函数有两个极值点，且.      ……………………………………………………………………………………………9分设，则，，所以在上递增，，所以.  ……………………………………………………12分12、解析：（1）的定义域为，，可得，令得，所以的单调递减区间是和.（2）由，∵，只要证，只需证，不妨设，即证，令，只需证，令，则在上恒成立；所以在上单调递增，，即证.13、解：（1）当时，的定义域为，，令得：，，∴的单调递增区间为.当时，的定义域为，，当即时，的单调增区间为，当，即时，.的单调递增区间为和.（2）由（1）知当时，在内单调递增，，故只有一个零点，当时，在处取极大值，处取极小值.由知，而，则，，∵，∴，∴，∴当时，函数只有一个零点，当时，令，，在单调递减，在单调递增，，∴（当且仅当时，等号成立），i）时，，，，由（1）函数单调性知，，所以函数在存在零点，∴在有两个零点.ii）时，，，，同理可得函数在存在零点，∴在有两个零点.iii）时，，函数在有一个零点.综上所述：当或时，函数有一个零点，当且时，函数有两个零点.14、解：（1）由，即，，，①在上单调递增，∴对恒成立，即对恒成立，得；②在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，得，由①②可得的取值范围为；（2）由（1）知，①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，符合题意；③时，，在上单调递增，∴上单调递减，∴时，，单调递减，不合题意；④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得.15、解：（1）法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即；②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立， 即对于恒成立，由此，，，于是，故.16、解：（1）∵，              ………………………………1分记，则，∴在上递增且.∴当时，，当时，.∴在上递减，在上递增，                     又时，，时，，， …………4分当时，，在定义域上递增，无极值点，当时，有两变号零点，有两极值点.  …………………………6分（2）由（1）知，在上递增，又∵，.存在唯一实数使，，  …………………………8分在上递减，在上递增，                  ………………………………10分又明显在上递增，对任意一个,都存在唯一与之对应，反之亦然. 设，在上递减，，即 的取值范围为.      ……………………12分 17、【解析】（1）因为，所以 ，………2分则，得． ………4分（2），，设函数，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，则． ………7分设函数，，令在为减函数，又因为，则当时，，即，为增函数，则当时，，即，为减函数，所以，………11分综上所述，，即．………12分18、解：（Ⅰ）的定义域为，，当时，，则函数在区间单调递增；当时，由得，由得.所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，由得，由得，所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.综上所述，当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，要证，即证，即证：.令，则.令，易见函数在区间上单调递增.而，，所以在区间上存在唯一的实数，使得，即，且时，时.故在上递减，在上递增.∴.又，∴.∴成立，即成立.