2020高考数学一轮复习检测：第5章 第3节　等比数列及其前n项和(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·四川绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选B.设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.

2．(2018·浙江丽水模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选A.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.

3．(2018·东北六校联考)已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，因为b＝b2＞0，所以b2＝3，所以＝.

4．(2018·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：选B.设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，

∴前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.

5．(2018·福州模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)

A．－5  B．－

C．5  D．

解析：选A.因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an.

所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，

所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.

所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35.

所以log35＝－log335＝－5.

6．(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2  B．4

C．8  D．16

解析：选A.由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.

7．(2018·青岛二模)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　)

A．[12,16]  B．

C.  D．

解析：选C.因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－q2n)∈，故选C.

8．(2018·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.

解析：∵b1＝＝a2，b2＝，

∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，

∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，

∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.

答案：1 024

9．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．

解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，

∴a1＝8.

故a1a2·…·an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·

＝23n－＋＝2－＋n.

记t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，

结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.

又y＝2t为增函数，从而a1a2·…·an的最大值为26＝64.

答案：64

10．(2018·广东中山调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

解：(1)∵S1＝a1＝1，

且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，

∴Sn＝2n－1，

又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.

当n＝1时a1＝1，不适合上式．

∴an＝

(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，

∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.

∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.

B级　能力提升练

11．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　)

A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C.若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件，故选C.

12．(2018·济南模拟)设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)

A．15  B．60

C．63  D．72

解析：选B.由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋1，所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝＝60.

13．(2018·湖北黄石检测)已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．

解析：由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋d＝5n＋n(n－1)，所以＝＝[3(n＋1)＋＋2]≥，当且仅当3(n＋1)＝，即n＝2时等号成立．

答案：

14．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

(2)由(1)得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，即5＝.

解得λ＝－1.

15．(2018·河北省“五个一名校联盟”高三模拟)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.

解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，

∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，

∴b1＝1，

∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，

∴bn＝2n－1.

∴b3＝4，

∵a1b3＝12，∴a1＝3，

∵a2＝6，数列{an}是等差数列，

∴an＝3n.

(2)设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，

则Cn＋1＝(－1)n＋12n，

∴＝－2，

又C1＝－1，

∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列．

∴Tn＝＝[(－2)n－1]．

C级　素养加强练

16．(2018·辽宁鞍山模拟)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

则由已知可得

解得或

故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.

(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，

故是首项为，公比为的等比数列 ，

从而＝＝·＜＜1.

若an＝(－5)·(－1)n－1，

则＝－(－1)n－1，

故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而

＝

故＜1.

综上，对任意正整数m，总有＜1.

故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．