2020高考数学一轮复习检测：第6章 第2节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1.(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)

A．6　　　　　　　　　　 B．19

C．21  D．45

解析：选C.由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．

作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当经过点A(2，3)时，z取最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.

2.(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件

则z＝x－y的取值范围是(　　)

A．[－3，0]  B．[－3，2]

C．[0，2]  D．[0，3]

解析：选B.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]．

3.(2018·福建泉州模拟)已知x，y满足，则z＝8－x·的最小值为(　　)

A．1  B．

C.  D．

解析：选D.作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.

4.不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，

p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，

p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，

p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1，

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3  B．p1，p2

C．p1，p4  D．p1，p3

解析：选B.画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示．作直线l0：y＝－x，平移l0，当直线经过A(2，－1)时，x＋2y取最小值，此时(x＋2y)min＝0.故p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2为真．p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2为真．故选B.

5.(2018·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)

A．320千元  B．360千元

C．400千元  D．440千元

解析：选B.设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z＝2x＋y，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.

6.(2018·福州模拟)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：选B.在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．

由图象可知，当m≤1时，

函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，

故m的最大值为1.

7.(2018·佛山模拟)若实数x，y满足则z＝的取值范围是(　　)

A.  B．

C．[2，4]  D．(2，4]

解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1，2)，B(0，2)．

z＝＝＝，则z的几何意义是可行域内的点P(x，y)与点M所连直线的斜率．

可知kMA＝＝，kMB＝＝4，结合图形可得≤z＜4.

故z＝的取值范围是.

8.(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分)，

由图可知，当直线x＋y－z＝0经过点A(5，4)时，z＝x＋y取得最大值，最大值为zmax＝5＋4＝9.

答案：9

9.(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．

解析：由x＋1≤y≤2x得即作出可行域，如图中阴影部分所示．

设z＝2y－x，则y＝x＋z，

由得A(1，2)．

由图可知，当直线y＝x＋z过A(1，2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.

答案：3

10.设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为________．

解析：x2＋y2表示可行域内的点P(x，y)到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O作OA垂直直线x＋y－6＝0，垂足为A，易知点A在可行域内，所以原点到直线x＋y－6＝0的距离d，就是点P(x，y)到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，所以x2＋y2的最小值为d2＝18，

答案：18

B级　能力提升练

11.(2018·河北石家庄检测)已知x，y满足

若使得z＝ax＋y取得最大值的点有无数个，则t＝x－2ay的最小值为(　　)

A．－2  B．－

C．2  D．

解析：选A.不等式组表示的可行域是如图所示的阴影区域，若使得z＝ax＋y取得最大值的点有无数个，则需满足直线z＝ax＋y与直线AB重合，故－a＝1，即a＝－1，故t＝x＋2y.由数形结合可知，目标函数t＝x＋2y在点C处取得最小值，联立，得解得C(2，－2)，所以tmin＝2＋2×(－2)＝－2，故选A.

12.(2018·兰州模拟)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A.  B．

C．4  D．

解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.

由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大．

由解得

即A(1，1)，故zmax＝2×1＋1＝3，

当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z最小．

由解得即B(a，a)，故zmin＝2×a＋a＝3a，由z的最大值是最小值的4倍，得3＝4×3a，

即a＝.

13.(2018·南昌二模)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域上的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P(x，y)，Q(a，－2a)，则＋＝(x＋a，y－2a)，则|＋|＝，设z＝|＋|，则z的几何意义为可行域内的动点P到动点M(－a，2a)的距离，其中M也在直线2x＋y＝0上，由图可知，当点P为(0，1)，M为P在直线2x＋y＝0上的垂足时，z取得最小值d＝＝＝.

14.(2018·山东垦利一中质检)寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行参观．已知A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 200元/辆和1 800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．

解析：设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1 200x＋1 800y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)，

即(x，y∈N)，由z＝1 200x＋1 800y，

得y＝－x＋，作出不等式组表示的平面区域(图略)，由得作出直线y＝－x并平移，由图象知当直线经过点(5，12)时，直线的截距最小，此时z最小，此时的总租金为1 200×5＋1 800×12＝27 600(元)．

答案：27 600

15.(2018·福建高三质检)不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：

①∀(x，y)∈D，y≥ax；②∃(x，y)∈D，x－y≤a.

则实数a的取值范围为________．

解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示，由解得所以点B的坐标为(2，2)．由解得所以点C的坐标为(1，3)．因为∀(x，y)∈D，y≥ax，由图可知，a≤kOB，所以a≤1.由∃(x，y)∈D，x－y≤a，设z＝x－y，则a≥zmin.当目标函数z＝x－y过点C(1，3)时，z＝x－y取得最小值，此时zmin＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2，1]．

答案：[－2，1]

C级　素养加强练

16.(2018·济南模拟)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D满足＝2，点P为△BCD内(含边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则当α＋2β取得最大值时，在方向上的投影为________．

解析：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则＝(0，1)，＝(1，0)，＝(2，0)，

设P(x，y)，则＝(x，y)，由＝α＋β，

得(x，y)＝α(1，0)＋β(0，1)＝(α，β)，

所以所以α＋2β＝x＋2y.

设z＝x＋2y，则y＝－x＋，所以是直线y＝－x＋在y轴上的截距，由图易知，当该直线经过点 B(1，1)时，在y轴上的截距最大，即α＋2β取得最大值，此时＝(1，1)，又＝(2，－1)，

所以在方向上的投影为＝＝.

答案：