2020高考数学一轮复习检测：第6章 第3节　基本不等式及其应用(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1.(2018·惠州模拟)“a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

2.(2018·成都二诊)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[0，2]  B．[－2，0]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：选D.因为1＝2x＋2y≥2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号，故选D.

3.(2018·东北三省四市二模)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)

A．8  B．9

C．12  D．16

解析：选B.由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.

4.若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)

A．R＜P＜Q  B．Q＜P＜R

C．P＜Q＜R  D．P＜R＜Q

解析：选C.∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，(lg a＋lg b)＞，即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg＝(lg a＋lg b)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.

5.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：选C.由＋＝知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2，即ab≥2，

当且仅当，即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.

6.(2018·长春二测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝12，则△ABC面积的最大值为(　　)

A．8  B．9

C．16  D．21

解析：选B.由三角形的面积公式：

S＝absin C＝ab≤×＝9，

当且仅当a＝b＝6时等号成立．

则△ABC面积的最大值为9.

7.(2018·广州模拟)若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为7，则＋的最小值为(　　)

A．14  B．7

C．18  D．13

解析：选B.画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x－y＝－1与2x－y＝2的交点N(3，4)时，目标函数取得最大值，即3a＋4b＝7，于是＋＝(3a＋4b)＝(25＋＋)≥(25＋2)＝7，

即＋的最小值为7.

8.(2018·南昌调研)已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________．

解析：∵x＞2，m＞0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.

答案：4

9.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．

解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值.

答案：

10.(2018·宜春六校联考)已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋y的最小值．

解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，

得

(1)因为x＞0，y＞0，

所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1.

所以3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.所以(3＋1)(－1)≥0.

所以≥1.所以xy≥1.

当且仅当x＝y＝1时，等号成立．

所以xy的最小值为1.

(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1＝3xy≤3·.所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.

所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.

所以x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号．

所以x＋y的最小值为2.

B级　能力提升练

11.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　　)

A．[－2，0)∪(0，4]  B．[－4，0)∪(0，2]

C．[－4，2]  D．[－2，4]

解析：选D.因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×＝，当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2，4]．故选D.

12.(2018·河南林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)

A．10  B．15

C．20  D．25

解析：选C.由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.

13.(2018·日照模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋＝4，则＋的最大值为________．

解析：由x＝loga2，y＝logb2，得＋＝＋＝log2a2＋log2b＝log2(a2b)．又4＝a＋≥2，所以a2b≤16，故＋＝log2(a2b)≤4.

答案：4

14.(2018·南昌模拟)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)不获利．设该单位每月获利为S元，

则S＝100x－y＝100x－

＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，

因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

15.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．

解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)元．

设每天所支付的总费用为y1元，则

y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989.

当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．

所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

(2)若该厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．

令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵x2＞x1≥35，

∴x1－x2＜0，x1x2－100＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴当x＝35时，y2有最小值，约为10 069.7，

此时y2＜10 989.

∴该厂应该接受此优惠条件．

C级　素养加强练

16.(2018·江西重点中学联考)已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC的距离分别为m，n，则＋的最小值为________．

解析：如图所示，根据题意，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，则PE＝m，PF＝n，

又由AB＝AC，∠BAC＝120°，得∠ABC＝∠ACB＝30°，

则PE＝PB，PF＝PC，

即m＝PB，n＝PC.

由PB＋PC＝BC＝4，得m＋n＝2，

则＋＝·＝≥，

即＋的最小值为，

此时m＝2n.

答案：