2020高考数学一轮复习检测：第6章 第5节　直接证明与间接证明、数学归纳法(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1.(2018·广州模拟)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．
2.(2018·聊城模拟)在等比数列{an}中，a1＜a2＜a3是数列{an}递增的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当a1＜a2＜a3时，设公比为q，
由a1＜a1q＜a1q2得
若a1＞0，则1＜q＜q2，即q＞1，
此时，显然数列{an}是递增数列，
若a1＜0，则1＞q＞q2，即0＜q＜1，
此时，数列{an}也是递增数列，
反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1＜a2＜a3.
故a1＜a2＜a3是等比数列{an}递增的充要条件．
3.(2018·北京西城模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2　　　　　　　 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：选D.因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
4.(2018·洛阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.
5.(2018·昆明模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.∵a、b、c是不全相等的正数，故①正确；③错误；对任意两个数a、b，a＞b与a＜b及a＝b三者必有其一正确，故②正确．
6.(2018·北京模拟)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝
若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
解析：选C.由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.
7.(2018·新余模拟)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．
解析：x2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)＞(a＋b＋2)＝x2，又∵x＞0，y＞0，∴y＞x.
答案：y＞x
8.(2018·烟台三模)给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________(填上所有可能的条件的序号)．
解析：若1＜a＜b，则＜＜1＜b，所以loga＜loga＝－1＝logb，故条件①不成立；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，所以logab＞loga＞loga＝－1＝logb，故条件②成立；若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，所以loga＞0，logab＜0，故条件③不成立．
答案：②
9.(2019·青岛期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式
①－1＞2－；
②2－＞－；
③－＞－2；
④－2＞－；
⑤－＞2－.
(1)上述五个式子有相同的不等关系，根据其结构特点，请你再写出一个类似的不等式．
(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明．
解：(1)－2＞－3(答案不唯一)．
(2)－＞－.
证明：要证原不等式成立，只需证＋＞＋，
因为不等式两边都大于0，
只需证2a＋3＋2＞2a＋3＋2，
只需证 ＞ ，
只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a，
只需证2＞0，显然成立，所以原不等式成立．
10.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
(2)1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)由于x≥1，y≥1，
所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，
只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，
只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，
只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，
只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
由于x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，则logca＝＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy，
所以要证明不等式logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac，即证x＋y＋≤＋＋xy.
因为c≥b≥a＞1，所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1，
由(1)知所要证明的不等式成立．
B级　能力提升练
11.(2018·揭阳模拟)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　)
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不能确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错误；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不能确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错误；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错，故选C.
12.(2018·金华调研)已知a，b，c∈R，若·＞1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．a，c同号，b与它们异号
D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定
解析：选A.由·＞1，知与同号，
若＞0且＞0，不等式＋≥－2显然成立，
若＜0且＜0，则－＞0，－＞0，
＋≥2＞2，
即＋＜－2，
这与＋≥－2矛盾，故＞0且＞0，即a，b，c同号．故选A.
13.(2018·大连模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出：
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
14.(2018·黑龙江哈尔滨模拟)(1)当x＞1时，求证：2x2＋＞2x＋＞2＋；
(2)若a＜e，用反证法证明：函数f(x)＝xex－ax2(x＞0)无零点．
证明：(1)∵x＞1，∴要证2x2＋＞2x＋，
只需证2x4＋1＞2x3＋x，
即证2x3(x－1)＞x－1.
∵x＞1，∴只需证2x3＞1.
∵x＞1，∴2x3＞2＞1，
故2x2＋＞2x＋得证．
令x＝，则2()2＋＞2＋，
即2t＋＞2＋，
则2x＋＞2＋，
从而2x2＋＞2x＋＞2＋.
(2)假设函数f(x)＝xex－ax2(x＞0)有零点，则f(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即a＝在(0，＋∞)上有解．
设g(x)＝(x＞0)，
则导函数g′(x)＝(x＞0)，
当0＜x＜1时，g′(x)＜0；
当x＞1时，g′(x)＞0.
∴g(x)≥g(x)min＝g(1)＝e，∴a≥e，但这与条件a＜e矛盾，故假设不成立，即原命题得证．
15.已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N*)，e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)＞0，即x＜0时，f(x)单调递增；
当f′(x)＜0，即x＞0时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
当x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，即1＋x＜ex.
令x＝，得1＋＜e，即＜e.①
(2)＝1·＝1＋1＝2；
＝·＝2·2＝(2＋1)2＝32；
＝·＝32·3＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n.②
下面用数学归纳法证明②.
(ⅰ)当n＝1时，左边＝右边＝2，②式成立．
(ⅱ)假设当n＝k时，②式成立，即＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)ak＋1，由归纳假设可得
＝·＝(k＋1)k(k＋1)＝(k＋2)k＋1.
所以当n＝k＋1时，②式也成立．
根据(ⅰ)(ⅱ)，可知②式对一切正整数n都成立．
C级　素养加强练
16.(2018·北京模拟)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i(i＝1，2，3，4)次，每次转动90°，记Ti(i＝1，2，3，4)为转动i次后各区域内两数乘积之积，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，则以下结论正确的是(　　)

A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数
B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数
C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数
D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数
解析：选A.根据题意可知：
(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＞0，
又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)去掉括号即得(x1＋x2＋x3＋x4)·(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4＞0，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A.