2020高考数学一轮复习检测：第8章 第7节　直线与圆锥曲线的综合问题(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·广东肇庆质检)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．1或2  D．0

解析：选A.因为直线y＝x＋3与双曲线－＝1的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

2．(2018·福建厦门模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D.∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2c，∴－＝(2c)2，即a2＝3c2，∴e2＝＝，

∴e＝.

3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．(1，)  B．(1，]

C．(，＋∞)  D．[，＋∞)

解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，所以e＝＝ ＞＝.

4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A．有且只有一条  B．有且只有两条

C．有且只有三条  D．有且只有四条

解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．

5．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．1或2

解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为＞，

所以a2＋b2＜3.

又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.

由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为，

所以P(a，b)在椭圆内部，

所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个，故选C.

6．(2018·江西九江模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(　　)

A.  B．

C.  D．3

解析：选D.设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4，直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，联立方程解得B(1，－2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.

7．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－

解析：选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0　①，ax＋by＝0　②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×(－1)＝－，所以＝－，故选A.

8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，

则直线l的方程为y－0＝，

即y＝x－p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，

则x1＝p，x2＝p，

则＝＝3.

答案：3

9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝________．

解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝2＝2＝，所以p＝2.

答案：2

10．(2018·浙江金华质检)若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|＝6，求k的值．

解：(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①

∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，

∴

∴1＜k＜.

(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝·

＝2＝6，

整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝.

又1＜k＜，∴k＝.

B级　能力提升练

11．(2018·河北衡水模拟)过原点的直线l与双曲线－＝－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B．

C.∪  D．∪

解析：选B.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx，将其代入双曲线的方程－＝1，并整理得(3k2－1)x2－9＝0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ＝36(3k2－1)＞0，所以k2＞，解得k＞或k＜－.

设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k＝tan α(0≤α≤π，且α≠)，

可得α∈∪；

当直线l的斜率不存在，即α＝时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点．故选B.

12．(2018·江西赣州一检)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

解析：选C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(－，0)，易得过F1且斜率不存在的直线为x＝－，该直线与双曲线的交点为，(－，－)，则|AB|＝3，又双曲线的两顶点分别为(－，0)，(，0)，所以实轴长为2，2＜3，结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件．

13．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大，该椭圆的形状(　　)

A．越接近于圆  B．越扁

C．先接近于圆后越扁  D．先越扁后接近于圆

解析：选D.由题意知4a＞a2＋1且a＞0，

解得2－＜a＜2＋，

又e2＝1－＝1－，

因此当a∈(2－，1)时，e越来越大，

当a∈(1，2＋)时，e越来越小．

所以椭圆形状变化为先扁后圆．

14．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为________．

解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0.

答案：2x＋8y＋7＝0

15．设点F为椭圆C：＋＝1(m＞0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得弦长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)圆P：＋＝r2(r＞0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．

解：(1)由得x2＝y2＝，

故2＝2＝，解得m＝1，

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

又

所以＋＝0.

则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝＝1，

则直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8x＝0，

则x1＝0，x2＝－，

故直线FM的斜率k∈[，＋∞)，

设FM：y＝k(x＋1)，由得

(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有x3＋x4＝，

x3x4＝，

又|PF|＝|x3＋1|，|QF|＝|x4＋1|，

所以|PF|·|QF|＝(1＋k2)|x3x4＋(x3＋x4)＋1|

＝(1＋k2)

＝(1＋k2)×＝，

因为k≥，所以＜≤，

即|PF|·|QF|的取值范围是.

C级　素养加强练

16．(2018·吉林长春质量检测)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，

联立方程，得整理得

y2－y－9＝0，

Δ＝＋144＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝λ，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝(y1＋y2)2，

则＝，λ＋－2＝，

因为2≤λ＜3，所以≤λ＋－2＜，

即≤＜，且k＞0，解得0＜k≤.

故直线l的斜率k的取值范围是

17．(2018·甘肃兰州诊断考试)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，过D(1，0)且与圆C相切的动圆圆心为P.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W(Q，R，S，T为不同的四个点)．

①设W(x0，y0)，证明：＋y＜1；

②求四边形QRST的面积的最小值．

解：(1)设动圆半径为r，由于点D在圆C内，所以圆P与圆C内切，|PC|＝2－r，|PD|＝r，|PC|＋|PD|＝2＞|CD|＝2，

由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其中a＝，c＝1，b＝＝1，

故轨迹E的方程为＋y2＝1.

(2)①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x＋y＝1，

又Q，R，S，T为不同的四个点，所以＋y＜1.

②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.

若两条直线的斜率都存在，设l1的斜率为k，

则l1的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

则|QS|＝2·，

同理得|RT|＝2·，

所以SQRST＝|QS|·|RT|＝≥＝，当且仅当2k2＋1＝k2＋2，即k＝±1时等号成立．

综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取得最小值.