2020高考数学一轮复习检测：第10章 第7节　离散型随机变量的分布列、均值与方差(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

(1)求X的分布列、期望和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

解：(1)X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.

D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.

又E(Y)＝aE(X)＋b，

所以当a＝2时，

由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.

当a＝－2时，

由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

所以或

2．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．

方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．

方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．

(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；

(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？

解：(1)X的可能取值为0,500,1 000.

P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，

所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为

(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，

若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．

3．(2018·天津实验中学期中)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束．

(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；

(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望．

解：(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)X的所有可能取值为1,2,3,4，

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝；

P(X＝3)＝××＝；P(X＝4)＝×××＝.

∴X的分布列为

E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

4．(2018·湖南湘中联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．

(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求η的分布列及期望E(η)．

解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．

又P()＝(1－0.4)3＝0.216，

故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.

(2)η的所有可能取值为200,250,300.

P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，

P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，

P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.

所以η的分布列为

E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.

B组　能力提升练

5．(2018·湖南邵阳月考)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛．已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.

(1)求ξ的分布列和数学期望；

(2)记“函数f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数”为事件A，求A发生的概率．

解：(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.

P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，

P(ξ＝3)＝×＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

(2)若f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数，则ξ＝1或ξ＝3.

故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.

6．(2018·辽宁大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单位进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示.

已知变量x，y具有线性负相关关系，且i＝39，i＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．

(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a，b的值；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据(xi，i)中的i与检测数据(xi，yi)中的yi差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．

解：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得，＝＝6.5，＝＝80，

将＝6.5，＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确，

故回归方程为y＝－4x＋106.

由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，

由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.

(2)列出估计数据(xi，yi)与检测数据(xi，yi)如表.

易知有3个“理想数据”，故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.