2020高考数学一轮复习检测：第12章 第2节 不等式证明(含解析)
展开限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·广西南宁测试)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4；
(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|a－b|＜|ab＋2a＋2b|.
解：(1)当x＜－3时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－4＜4，解得x＞－4，所以－4＜x＜－3；
当－3≤x＜－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1＋x＋3＝2＜4恒成立，所以－3≤x＜－1；
当x≥－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝x＋1＋x＋3＝2x＋4＜4，解得x＜0，所以－1≤x＜0.
综上，不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4的解集为{x|－4＜x＜0}．
(2)4(a－b)2－(ab＋2a＋2b)2＝－(a2b2＋4a2b＋4ab2＋16ab)＝－ab(b＋4)(a＋4)＜0，
所以4(a－b)2＜(ab＋2a＋2b)2，
所以2|a－b|＜|ab＋2a＋2b|.
2．(2018·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝
当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；
当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；
当x＞1时，x＜1，无解．
综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，
∵3x＞－3，－x＜1，
∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
3．(2018·安徽安师大附中阶段性检测)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．
解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；
当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；
当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.
故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2.
(2)因为2＝a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，
此时，ab＋bc取得最大值1.
B级 能力提升练
4．(2018·四川成都七中期中)已知函数f(x)＝m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c为正数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.
解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0可得|x＋1|＋|x－3|≤2m.
设g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则
当x≤－1时，g(x)＝－2x＋2；
当－1＜x＜3时，g(x)＝4；
当x≥3时，g(x)＝2x－2.
所以g(－2)＝g(4)＝6＝2m，m＝3.
(2)由(1)得＋＋＝3，
由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)≥2＝32，当且仅当a＝2b＝3c＝1时等号成立，所以a＋2b＋3c≥3.
5．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)．
(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且⊆A，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，由f(x)≤2，得|x－1|＋|2x－1|≤2，
∴或
或
解得或或
∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤.
∴原不等式的解集为.
(2)∵⊆A，
∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，
即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立，
∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2，
∴－2≤x＋m≤2，
∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈上恒成立，
∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，
∴－≤m≤0，
∴实数m的取值范围是.
6．(2018·云南昆明适应性检测)已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；
(2)若abc≠0，证明：＋＋≥1.
解：(1)易知|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，
因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，
所以|am|＋|bn|＋|cp|≤＋＋＝＝1，
故|am＋bn＋cp|≤1.
(2)因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，
所以＋＋＝(a2＋b2＋c2)≥2＝(m2＋n2＋p2)2＝1，
所以＋＋≥1.
