2020高考数学一轮复习检测：第11章 第1节　坐标系(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

解：(1)∵ρcos＝1，

∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.∴x＋y＝1.

即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.

∴M(2,0)，N.

∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.

(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为，

∴P的极角为θ＝.

∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求C1，C2的极坐标方程；

解：因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

3．(2018·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求出圆C的直角坐标方程；

(2)已知圆C与x轴交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．

解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，故x2＋y2－4x＝0，即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，易知AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，于是，实数m的最大值为－2.

B级　能力提升练

4．圆心C的极坐标为，且圆C经过极点．

(1)求圆C的极坐标方程．

(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．

解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极坐标方程为

ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．

(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2x＝0，解得x＝0或2，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2，0)，由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝(x－2)，即x＋y－2＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.

5．(2018·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos＝1.

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数．

(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．

解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝＞1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．

(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①

因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，

所以ρ0cos＝1，②

将①代入②，得cos＝1，

即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，

因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．

6．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

解：(1)将，消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由

解得，或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.